(2S) ESTUDIOS SOBRE DESARROLLO DE MACLAS 213 



mente, ya por un cateto, ya por la hipotenusa, formando, en el 

 primer caso, un ángulo saliente, y en el segundo caso, un ángulo 

 entrante, y se hallan dispuestas las 12 caras de modo que los 12 

 ángulos más agudos de los triángulos se juntan en un vértice. 



Según esto, la macla presenta 12 ángulos entrantes y otros 12 

 salientes en las aristas indicadas. 



Las 12 caras de otra clase (3Ó de la macla menos las 24 cita- 

 das) se reúnen en seis grupos de dos triángulos rectángulos é 

 isósceles, cuyos catetos tienen por magnitud la mitad de la arista 

 de los cubos, y aparecen unidos por sus hipotenusas, dando ori- 

 gen á un ángulo diedro entrante. 



La macla tiene, por tanto, seis ángulos entrantes formados en 

 estas hipotenusas. 



Los catetos de estos triángulos son las aristas de unión con 

 las caras de los grupos anteriores, y forman 24 ángulos salientes. 



Resultan, pues, en totalidad, 36 ángulos salientes y 18 en- 

 trantes. 



AI hacer el desarrollo de esta macla, la suponemos cortada en 

 dos partes iguales por el plano normal al eje que une los dos 

 vértices dodecaédricos, que pasa por el punto medio de éste y 

 contiene todas las hipotenusas de los triángulos pequeños. 



Desarrollamos una de esas mitades trazando una circunferen- 

 cia que tenga por radio la hipotenusa de los 12 triángulos ma- 

 yores. Su centro representa uno de los vértices dodecaédricos. 



Se delinean en dicha circunferencia seis cuerdas, una á conti- 

 nuación de otra, que sean de la longitud de la arista del cubo; 

 se unen los extremos de estas cuerdas con el centro del círculo; 

 desde este centro se bajan perpendiculares á las seis cuerdas, 

 prolongándolas hacia el otro lado de la cuerda (opuesto al centro), 

 hasta llegar á una distancia que sea la mitad de la arista del cubo. 



Se unen después los extremos periféricos de estas perpen- 

 diculares con uno de los extremos de la cuerda respectiva, y así 

 resultan los seis triángulos pequeños, con lo que se obtiene la 

 mitad del desarrollo. 



Los 12 triángulos rectángulos situados en la parte interior de la 

 circunferencia y alternativamente unidos por un cateto ó la hipo- 

 tenusa, son las 12 caras que constituyen el vértice dodecaédrico. 

 Mem. R. Soc. esp. Hist. nat., iii, 1905. 



