376 NOMBRE ET NATURE DES RACINES 
et que de plus l’une au moins de ces racines est réelle, 
puisque toute équation du degré n = 1, à coefficients 
réels, possède une seule racine qui est toujours réelle. 
Les autres racines peuvent être toutes réelles ou toutes 
imaginaires, ou en partie réelles ou en partie imaginai- 
res, puisqu'elles sont les racines d'équations du second 
degré à coefficients réels, racines qui, pour chaque équa- 
tion du second degré, peuvent être toutes deux réelles 
ou toutes deux imaginaires, 
Si nous faisons maintenant n=—2, nous aurons la preuve 
quetoutesleséquations des degrés pairs ontautantde raci- 
nes que d’unités dans leur degré; mais comme elles sont 
formées par le produit de plusieurs équations de second 
degré, il en résulte que toutes leurs racines peuvent être 
toutes réelles ou toutes imaginaires et que les unes ou 
les autres sont nécessairement en nombre pair. 
Puisque les racines imaginaires qui peuvent entrer 
dans une équation quelconque ne sont que les racines 
imaginaires d’une ou de plusieurs équations du second 
degré, il est facile de voir que ces racines seront toujours 
par couples de ia forme ra ins We a et b étant 
des quantités réelles. Cette ee observation fournit, 
comme onle voit, la démonstration du théorème sur la 
forme des racines imaginaires. 
Si au lieu de supposer les coefficients des équations 
(2) et (3) réels, on les eût représentés respectivement 
par pi Pi 1, pet Pay 1 ...... [+FV =, 
g+Gy7—,les quantités P1,P2, . ... F, G étant réelles et 
aussi complètement arbitraires que leurs correspondan- 
tes, p1,Pe .… f, g on serait parvenu à l'équation du degré 
n+2 à coefficients imaginaires. L'indétermination abso- 
lue, tant de la partie réelle que de la partie imaginaire de 
