DERNIER THÉORÈME DE FERMAT 735 



Le dernier théorème de Fermât a donc, en définitive, 

 été établi par Kummer, pour tout nombre entier inférieur 

 à 100. 



Il n'existe toutefois, à notre connaissance (juillet 1911) 

 aucune démonstration générale de cette proposition, mise 

 au concours en 1908 par la Société des Sciences de Gôt- 

 tingen \ 



Nous pensons qu'il est possible de déduire cette dé- 

 monstration de la proposition suivante : 



La résolution, en nombres entiers, de l'équation 



est impossible pour n ^ x. 



On démontre très simplement cette dernière proposition 

 en observant tout d'abord que les deux nombres entiers 

 X et y seront nécessairement distincts si la relation sup- 

 posée a lieu pour n> \. 



Pour montrer que, dans ce cas, x diffère nécessaire- 

 ment de y, il suffit de prouver que l'hypothèse x = y 

 implique contradiction. 



On aurait, en effet, dans cette hypothèse, 2 a;" = ^" ou 



^ . z 



— =y2, c'est-à-dire que le nombre commensurable — , 



X '^■' 



rapport de deux nombres entiers, serait égal à la racine 

 n"" du nombre 2, qui est incommensurable quand n>\. 



< Il est certain que Fermât avait démontré ce théorème célèbre 

 qu'il n'eût point, sans cela, proposé en défi à ses contemporains et 

 à propos duquel il ajoute, dans ses Notes sur Diophanle : Cujus 

 rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas 

 non caperet. 



