734 KOTE AU SUJET BU 



Les deux nombres entiers ce et i/ de la relation (1) sup- 

 posée satisfaite étant nécessairement distincts, on a donc, 

 en appelant x le plus petit de ces deux nombres : 



X < y < z. 



Ceci posé, la relation (1) peut s'écrire : 



r»" = ^" - 2/" = (^ - y) (^"-' + y ^"-^ + . . . +2/"-*). 



Remplaçant, dans chacun des n termes de la seconde 

 parenthèse, le nombre entier ^ par le nombre entier y, 

 qui lui est inférieur, il vient, chaque terme de cette paren- 

 thèse étant alors égal à 2/"~* 



x"" > [z — y) X n. y^~^ 



et, à fortiori, puisque la différence {z — y) est entière et 

 positive : 



ce que l'on peut encore écrire 



n — 1 



n ( ^\ 

 00 \y ) 



La relation nécessaire x <y montre d'ailleurs que le 



rapport— est inférieur à l'unité et qu'il en est de même, à 

 y 



fortiori, de sa (n- 1)"' puissance. 



Le rapport—, inférieur à cette [n — l)""" puissance est 



X 



donc lui-même inférieur à l'unité et l'on a bien, nécessai- 

 rement, dans les conditions admises, n < x, comme on 

 se proposait de l'établir. 



