DERNIER THÉORÈME DE FERMAT 739 



Cette solution se trouve d'ailleurs n'être autre chose 

 que l'identité bien connue 



3« + 4» = 5«. 



Car si l'on considère, pour fixer les idées, la première 

 des équations [b) on en déduit 



3' ou 9 ={z-y) {z + y) 



d"où il résulte que l'on a nécessairement 



soit (z — y) = 1 avec ('z-\-y) = 9 

 soit {2 — y) = 3 avec {z-\-y) = 3 



La seconde hypothèse, entraînant y = o, est inadmissi- 

 ble, et le même raisonnement appliqué tour à tour à cha- 

 cune des équations {b), montre que chacune d'elles est et 

 ne peut être satisfaite que dans la première supposition, 

 c'est-à-dire pour : 



2/ = ft = [x=...=4 et^ = y = [x=...=:5. 



C'est donc, finalement, de l'existence même du triangle 

 rectangle dont les côtés sont 3. 4 et 5 qu'on peut, en 

 toute rigueur, croyons -nous, faire dépendre l'exactitude 

 du dernier théorème de Fermât. 



Il est curieux d'observer, comme l'a tout d'abord re- 

 marqué Frénicle et, après lui, Poinsot « que les nombres 

 3, 4 et 5 doivent nécessairement entrer tous trois comme 

 facteurs dans la composition des trois nombres x, y, z de 

 toute équation de la forme 



^' + y' = -3-' 



