DERNIER THÉORÈME DE FERMAT 743 



Mais l'une des plus intéressantes propositions qu'on 

 puisse considérer comme une généralisation du dernier 

 théorème de Fermât est celle que M. R. Liouville a 

 fait connaître en 1879 (C. R. de l'Ac. des Se. t. 89, p. 

 1108) sur l'impossibilité de la relation algébrique 



X"-|-Y" + Z" = (1) 



dans laquelle X, Y, Z sont trois fonctions entières et 

 rationnelles d'une même variable. 



La démonstration très simple qui suit est due à Kor- 

 KiNE. Elle est extraite d'une lettre de ce géomètre à Ch. 

 Hermite : 



«... Lorsqu'il est possible de satisfaire à l'équation (1) 

 au moyen de trois fonctions entières de t dont aucune ne 

 se réduit à zéro, on peut toujours supposer que ces fonc- 

 tions, prises deux à deux, n'ont pas de facteurs communs. 



Soit Z celui des trois polynômes dont le degré m n'est 

 pas inférieur à ceux des deux autres. On voit alors facile- 

 ment que le degré de l'un au moins des polynômes X et 

 Y est aussi égal à m. 



Soit Y ce polynôme, de degré m, X sera de degré 

 (m — a), a étant un entier positif ou nul. 



En différentiant par rapport à t l'équation 



à numérateurs Pn entiers, réels ou complexes, à dénominateurs 

 Qn entiers, réels, croissants. 

 Le nombre positif «n étant déterminé par la condition 



|U — Unl^Qn"*" ' 



soit « un nombre aussi grand qu'on voudrais! l'on peut, pour toute 

 valeur de «, choisir l'entier m assez grand pour que ^n > a dès que 

 n > m, U est un nombre -transcendant que M. Ed. Maillet appelle 

 nomOre de Liouiniie. 



