— 138 — 



inférieure à deux droits, ces lignes, prolongées suffi- 

 samment, se rencontreront»; ou, ce qui revient au 

 même: «Par un point donné, on ne peut mener 

 qu'une parallèle à une droite. » 



Bien des géomètres, depuis Proclus, ont tenté de 

 démontrer a priori l'axiome XI (ou 5"^^ postulat) 

 d'Eiiclide. Il convient de mentionner sous ce rapport 

 les recherches de Nassir-ed-Din, astronome arabe du 

 XIII"^^ siècle; de John Wallis, l'habile mathématicien 

 anglais, qui, dans un cours public fait à Oxford le 

 11 juillet 1663, captiva l'attention de ses auditeurs 

 par une démonstration ingénieuse et subtile de cet 

 axiome. Saccheri (1733), que quelques-uns considè- 

 rent comme le précurseur de Lobatschewsky, et Lam- 

 bert, dans un ouvrage posthume paru en 1786, don- 

 nèrent une grande extension h la théorie des parallèles 

 et s'occupèrent d'une façon toute spéciale de la vali- 

 dité du postulatum euclidien ^ Tout dernièrement 

 encore, a paru une démonstration assez concluante 

 de prime abord, due à M. Frolov, membre de la So- 

 ciété mathématique de France. 



Ces démonstrations reviennent, en général, à ad- 

 mettre que la droite n'a qu'un point réel à l'infini, 

 hypothèse qui n'est qu'une simple conséquence de 

 l'axiome XI. L'on tourne ainsi dans un cercle vicieux. 

 « Il faut, dit Hoùel, reléguer parmi les chimères l'es- 

 poir que nourrissent encore tant de géomètres de 

 parvenir à démontrer le postulat d'Euclide autrement 

 que par l'expérience. Désormais, ces tentatives devront 



^ Pour les détails, consulter l'ouvrage très complet et très intéres- 

 sant de MM Engel et Stackel, intitulé: Die Théorie der Parallelli- 

 nien von Euklid his auf Gaiiss, Leipzig, 189Ô, ainsi que The Ilis- 

 torij of modem Matliematics, de M. D.-E. Smith, New- York, 1896. 



