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être mises au même rang que la quadrature du cercle 

 et le mouvement perpétuel. » 



Le but des non-Euclidiens est de prouver, en oppo- 

 sition à l'axiome XI, qu'il n'existe a priori aucune 

 raison d'affirmer qu'on ne puisse mener, par un même 

 point, qu'une seule droite ne rencontrant pas une 

 dr-oite donnée dans le même plan. D'illustres géomè- 

 tres ont fait des recherches dans ce sens. Après avoir 

 reconnu dans la première édition de ses Eléments, 

 publiée en 1794, que l'axiom.e XI équivaut au théo- 

 rème qui dit que la somme des angles d'un triangle 

 est égale à deux droits, Legendre prouve dans des 

 éditions ultérieuies que cette somme ne peut sur- 

 passer deux droits et que, si dans un triangle quel- 

 conque elle vaut deux droits, il en est de même dans 

 tous les triangles (1833). Par contre, il éprouve quel- 

 que difficulté à démontrer qu'elle ne peut être infé- 

 rieure à deux droits. 



La théorie des parallèles avait aussi été, pendant 

 plus d'un demi-siècle, l'objet des méditations de 

 Gauss, comme cela ressort de plusieurs passages de 

 sa correspondance avec Schumacher. Le 17 mai 1831, 

 il écrivait: ce Depuis quelques semaines, j'ai commencé 

 à mettre par écrit quelques résultats de mes propres 

 méditations sur ce sujet, qui remontent en partie à 

 quarante ans, et dont je n'avais jamais rien rédigé, 

 ce qui m'a forcé trois ou quatre fois à recommencer 

 tout le travail dans ma tête. Je ne voudrais pourtant 

 pas que tout cela pérît avec moi!'» Hoûel, en 1867, 

 fait suivre sa traduction de cette lettre d'une remarque 

 conçue en ces termes : « En parcourant la table des 



1 Ich loànschte doch, dass es 7iicht mit mir unterginge. 



