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classes, savoir : en droites qui coupent la droite don- 

 née, et en droites qui ne la coupent pas. La droite qui 

 forme la limite commune de ces deux classes est dite 

 parallèle à la droite donnée. 



Soit abaissée du point A (la figure est fecile à cons- 

 truire), sur la droite BC, la perpendiculaire AD, et 

 soit élevée au point A, sur la droite AD, la perpendi- 

 culaire AE. Dans l'angle droit EAD, il arrivera ou que 

 toutes les droites partant du point A rencontreront la 

 droite CD, comme le fait AF, par exemple ; ou bien 

 que quelques-unes d'entre elles, comme la perpendi- 

 culaire AE, ne rencontreront pas DC. Dans l'incerti- 

 tude si la perpendiculaire AE est la seule droite qui 

 ne rencontre pas DC, nous admettrons la possibilité 

 qu'il existe encore d'autres lignes, telles que AG, qui 

 ne coupent pas DC, quelque loin qu'on les prolonge. 

 En passant des lignes AF, qui coupent CD, aux lignes 

 AG, qui ne coupent pas CD, on trouvera nécessaire- 

 ment une ligne-limite AH, d'un côté de laquelle les 

 lignes AG ne rencontrent aucune la ligne DC, tandis 

 que, de l'autre côté, toutes les lignes AF rencontrent 

 DC. L'angle HAD, compris entre la parallèle HA et 

 la perpendiculaire AD, sera dit l'angle de parallélisme, 

 et nous le désignerons par n (p), p représentant la dis- 

 tance AD. » Cet angle joue un rôle important dans la 

 géométrie de Lobatschewsky. 



L'auteur prouve un peu plus loin, ce que Legendre 

 avait déjà fait, que dans tout triangle rectiligne, la 

 somme des trois angles ne peut surpasser deux droits 

 Il déduit de là que deux hypothèses sont possibles : 

 ou bien, la somme des angles est égale à deux droits 

 dans tous les triangles rectilignes, et alors l'angle de 

 parallélisme n (p) est égal à V2 '^j quelle que soit la 



