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distance /) ; ou bien, cette somme est moindre que 

 deux droits dans tous les triangles, en même temps 

 que n (/)) est inférieur à V» '^• 



^c La première hypothèse, ajoute Lobatschewsky, sert 

 de fondement à la Géométrie ordinaire et à la Trigono- 

 inétrie plane. La seconde hypothèse peut être égale- 

 ment admise, sans conduire à aucune espèce de con- 

 tradiction dans les résultats, et elle est la base d'une 

 nouvelle théorie géométrique, à laquelle j'ai donné le 

 nom de Géométrie imagitmire. » C'est la Géométrie non- 

 euclidienne de Gauss. 



Plus loin encore, Lobatschewsky substitue à la 

 droite et au plan une conrbe-limite (horicycle) et une 

 sur face-limite (horisphère). La courbe-limite est une 

 ligne plane telle que toutes les perpendiculaires éle- 

 vées sur les milieux de ses cordes sont parallèles en- 

 tre elles (dans l'acception généralisée du mot paral- 

 lèle). Une circonférence, dont le rayon devient infini- 

 ment grand, se transforme en une courbe-limite. De là 

 le nom d'Itoricgde que l'on peut donner à cette courbe. 

 La surface-limite, engendrée par la révolution de la 

 courbe-limite autour d'un de ses axes, peut aussi être 

 remplacée par une sphère dont le rayon croît indéfini- 

 ment, lliorisphère. Lobatschewsky démontre qu'alors 

 la somme des angles dièdres d'un trièdre dont les 

 arêtes sont parallèles^ est égale à deux angles droits. 

 Il en résulte naturellement que dans les triangles sphé- 

 riques, tracés sur l'horisphère, il existe entre les côtés 

 et les angles les mêmes relations qu'entre les éléments 

 correspondants des triangles rectilignes. Aussi, est-ce 

 par de nombreuses et intéressantes applications à la 

 trigonométrie que se termine le mémoire du géomè- 

 tre russe sur la théorie des parallèles. 



