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possible de consti'uire une ligure lectiligne équiva- 

 lente à un cercle. Le problème de la quadrature du 

 cercle est donc résoluble dans ce système. 



Jean Bolyai mourut en 1860, quatre ans seulement 

 après son père. Celui-ci avait ajouté quelques remar- 

 ques au mémoire de son fils, desquelles nous déta- 

 chons principalement ce qui suit ^ : 



« Les formules de la Triyonomêtric sphcriquc (dé- 

 montrées dans le Mémoire précédent, indépendam- 

 ment de l'axiome XI d'Euclide) coïncident avec celles 

 de la Trif/onométrie plane, lorsque l'on considère (pour 

 nous servir d'une façon de parler provisoire) les côtés 

 d'un triangle spheriquc comme réels, ceux d'un trian- 

 gle rectilvjne comme imaginaires ; de sorte (|ue, lors- 

 qu'il s'agit des formules trigonométriques, on peut 

 regarder le plan comme une sphère imaginaire, 

 en prenant pour sphère réelle celle dans laquelle 

 shi R =: 1. 



(( On démontre qu'il existe une certaine quantité / 

 (dans le cas où l'axiome d'Euclide n'a pas lieu), telle 

 que la quantité correspondante I est égale à la base 

 e des logarithmes népériens. Dans ce cas, on établit 

 encore les formules de la Trigonométrie plane, et de 

 telle manière que les formules sont encore vraies 

 pour le cas de la réalité de l'axiome en question, en 

 prenant les limites des valeurs lorsque i tend vers 

 l'infmi. Ainsi le système euclidien est en quelque 

 sorte la limite du système anti-euclidien, pour / con- 

 veroreant vers l'infmi. » 



1 Tentamen, t. II, p. o80et suiv. Trad. Hoûel. Paris, Librairie A. 

 Hermann. 



