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Cette dernière courbe permet d'obtenir m connaissant 

 rf et L. 



Voici le détail des calculs par lesquels il faut passer 

 pour parvenir à ce résultat définitif : les résultats sont 



d'où nous tirons, pour la valeur des dérivées de l'arc et de la 

 poussée, 



/l + c* — 2 c cos T = c cos ^î' — /l — c* sin* ^ ; 



nous avons aussi, en développant la valeur de sin (t + >J'), diffé- 

 renliant et tirant la valeur de dr, égale à 



c cos ^ — cos (t + ^{') ,, c cos ^|' - /l — c* sin' ^ ,, 



:^- cl ^ = = cw» 



cosCt + ^I/) »/ 1 - c^ sin' >!' 



Remplaçons / 1 -{- c^ — 2 c cos t et dr par leurs valeurs 

 dans notre intégrale, celle-ci prend la forme 



/ (c cos ^ — /1 — c' sin^ -^f j, 

 \/i — à sin* ^ 



ou, en développant, 



J v1— c*sin*^ J J 



ou enfin, en remplaçant c- cos* ^|» par c* — 1 -{- 1 — c' sin» ^, 



2 f ^\-c'sih^d^'^(c'-'[)C , ^'^ =.-2csin^l> 



c'est-à-dire 



2 E (c, ^) + (c» — 1) F (c, ^) — 2 c sin ^, 



en suivant la notation de Legendre. Les deux premiers termes 

 sont des fonctions elliptiques de première et seconde espèce. 



