SOPRA UNA PARTICOLARE EQUAZIONE DIFFERENZIALE, ECC. 5) 
ho riconosciuto che allora le corrispondenti equazioni apparten- 
gono alla categoria di quelle da me studiate nella precedente 
Nota; e quindi ho anche potuto dar subito l’espressione del loro 
integrale generale, senza fare uso di quel fattore integrante. 
Si comprende poi come si possa, con analogo procedimento, 
determinare delle classi di equazioni integrabili, pure fra quelle 
il cui secondo membro sia un polinomio in y di grado superiore 
al terzo. 
SA. 
Osserviamo dapprima che, senza mancare affatto alla gene- 
ralità, possiamo sempre ritenere che nell’equazione differenziale 
d 9 
ia = do + 414 + 424° + 434° 
il coefficiente az (il quale deve supporsi non nullo) sia ridotto 
all'unità. Giacchè se fosse una funzione qualunque di x, potremmo 
cambiare la variabile in guisa tale che nell’ equazione trasfor- 
mata il coefficiente di y* fosse uguale all'unità (*). 
Occupiamoci dunque delle equazioni differenziali : 
(1) d“ a+ By+r + 
(dove a, B, y sono funzioni di x) che ammettono un fattore in- 
tegrante u della forma: 
(2) u= (y — e)" (y — 22)" (y — 29)" 
con Mi, Mz, mz quantità costanti, e #1, xs, x3 funzioni di e. 
Affinchè ciò si verifichi, sarà necessario e sufficiente che 
abbia luogo l’identità: 
SIE 4 (a+ By + 19? + 99) EE 4 (B+21y+-399)=0. 
(*) Basterebbe infatti porre {a3dx = #, ed assumere poi # come nuova 
variabile. 
