SOPRA UNA PARTICOLARE EQUAZIONE DIFFERENZIALE, ECC. 9 
SETE. 
La 
Come già si disse, una funzione u della forma (2) risulterà 
fattore integrante di un’equazione differenziale del tipo (1), so- 
lamente quando gli esponenti m,, ms, mz siano legati dalla (4), 
e le funzioni x;, x», 13 soddisfino alle (9). Per conseguenza una 
di tali funzioni sarà del tutto arbitraria; mentre, fissata questa, 
si avranno le altre due integrando il sistema di equazioni dif- 
ferenziali (9). 
Noi potremo, per es., supporre «3 = 0; e con ciò verremo 
a determinare tutte le equazioni del tipo (1) aventi come fat- 
tore integrante un’espressione della forma: 
(1 1) y"s (Y Se ga) (Y = do)" 1 
Osserviamo però che anche il caso di x3==0 si può in so- 
stanza ridurre a quest’ultimo. Infatti, dopo aver determinate le 
equazioni (1) che ammettono un fattore integrante della forma(11), 
se cambiamo y in y — x3, con «3 funzione arbitraria di «, le 
suddette equazioni conserveranno evidentemente la forma (1), 
ed il fattore integrante (11) si cambierà in uno del tipo (2). Di 
più, a causa dell’arbitrarietà della funzione x3, le equazioni così 
trasformate ci forniranno tutte quelle richieste dal caso generale. 
Ora, nell'ipotesi di x3= 0, le equazioni (9) si riducono 
alle altre: 
2} (M1+-3)c1+ mac | ca “E 2g} nyc + (009 +-3)0 2 = 
= my(mx+1)(m+2)(m,+-3)c{+-4m,mo(m1+1)(m:+2)cîca + 
+ 6 mo(m+1)(Mmo+1)cîx3 + 4mmo(mo+1)(mo+2)c 10: + 
(12) + ma(mo+-1)(m34-2)(ms+3)@2, 
im | 
2mg%xt9| Ma da Ta # 
= mye,t9}mi(m1+ 1)(m14- 2)eî + 3mmo(ma + 1)oixa + 
+ Bm,mo(ms + 1)e12ì + mo(mo + Dm + 2a. 
