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doppi uniplanari ('); si dimostra che i rami di composizioni sin- 
golari si distinguono in due specie diverse : rami che contengono 
più punti multipli di Y appartenenti ad un intorno dello stesso 
ordine di A e rami che hanno un contatto più o meno elevato 
colla curva doppia di F o colla curva di contatto di F' col cono 
circoscritto da un punto non appartenente al piano tangente 
ad F,.in A; e si stabilisce una formola generale che permette 
di determinare la composizione della superficie lungo un ramo 
assegnato, quando sia nota la composizione nel punto A della 
detta curva di contatto e della curva doppia (n. 8). E qui si 
impongono due osservazioni: l’una, necessaria perchè abbia senso 
il precedente enunciato, è che le curve contorni apparenti di Y 
rispetto ai punti dello spazio esterni al piano tangente in A 
hanno tutte in A le stesse tangenti, anzi hanno tutte comune un 
certo sistema di punti successivi ad A (n. 4, 9, 10); l’altra, meno 
evidente, ma più essenziale per la questione principale, è l’in- 
versione del risultato espresso nella nominata formola generale, 
dimostrandosi che la composizione della curva contorno appa- 
rente e della curva doppia è completamente arbitraria, poichè, 
assegnata a piacere (in un suo punto almeno triplo) la composi- 
zione della curva complessiva formata dalle due curve prese con 
convenienti multiplicità (anzi assegnata la parte della curva che 
passa per tal punto), purchè compatibilmente colla condizione 
che tal curva possa appartenere a una falda lineare, esistono 
superficie aventi tal punto come doppio e tal comportamento in 
esso per la curva nominata (n. 14). 
La ricerca si conduce per via sintetica, che assai meglio 
dell’analitica si presta all'uopo. Ma prima ed essenzial difficoltà 
alla ricerca analitica è la caratterizzazione, nell'equazione, della 
singolarità del punto. Ad essa sono indirizzate alcune conside- 
razioni finali, ove si determina l’equazione generale dei punti 
doppi uniplanari di data composizione sul ramo generico, esten- 
(!) I punti doppi conici e biplanari non offrono argomento a studio, 
da questo punto di vista: ai primi è successiva una conica, tutta di punti 
semplici; ai secondi due rette di punti semplici; solo il punto comune a 
queste può essere doppio, ed allora è biplanare o conico, e si ripeteranno 
per esso i fatti enunciati. 
