PUNTI DOPPI UNIPLANARI DELLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 141 
dendo anzi tal determinazione all’analoga singolarità per la iper- 
superficie ad un numero qualunque di dimensioni, ed applican- 
dola ad alcune ulteriori deduzioni (n. 15 a 18). 
Si indica in appendice la forma dei punti considerati. 
2. — Considerazioni preliminari. — Si è definito 
nel n° prec. la composizione della superficie lungo un ramo as- 
segnato y: ma nella definizione di tal composizione non è già 
il ramo che ha ufficio essenziale, bensì quella successione di 
primi suoi punti in cui la superficie ha punti multipli: sarà 
perciò più proprio sostituire alla considerazione del ramo quella 
dell'itinerario, definito come una qualsiasi successione (finita) di 
punti di un ramo; ogni itinerario è comune ad infiniti rami e 
si può prolungare coll’aggiunzione di punti successivi all'ultimo 
suo punto. 
Se A' è un punto di F successivo ad A, esso diviene punto 
effettivo sopra una superficie F' trasformata di / per una trasfor- 
mazione birazionale dello spazio avente A come punto fonda- 
mentale isolato : esso appartiene ad una linea a' di F, successiva 
ad A, cui tale trasformazione fa corrispondere una linea effettiva 
di F'. Se A" è un nuovo punto, successivo ad A', esso non 
diverrà ancora effettivo su 7", ma se ancora si assoggetta £' 
ad una trasformazione birazionale dello spazio avente A’ come 
punto fondamentale isolato, si otterrà una superficie trasformata 
F' su cui A" è punto effettivo. E così via. 
Le trasformazioni birazionali nominate saranno sempre, in 
quanto segue, trasformazioni quadratiche a conica fondamentale 
degenere. È noto che se il sistema omaloidico di una trasfor- 
mazione birazionale quadratica ha conica fondamentale degenere, 
ugual degenerazione ha pure la conica fondamentale del sistema 
omaloidico dello spazio trasformato ; e i punti doppi delle coniche 
si corrispondono per la trasformazione. — Nello spazio di / si 
dirà V il punto doppio della conica fondamentale, V' sarà il 
punto analogo nello spazio di /”. Dovendo trasformare £' in una 
nuova superficie #" si prenderà V' come punto doppio della 
conica fondamentale della nuova trasformazione e si chiamerà 
V" il punto analogo nello spazio di F". Così ancora, dovendo 
assoggettare /" ad una ulteriore trasformazione si prenderà V' 
