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come punto doppio della conica fondamentale della nuova tras- 
formazione e così via. 
Nel seguito, punti successivi ad A si indicheranno colla 
lettera A con apici ed indici; gli stessi apici ed indici si attri- 
buiranno ad F e a V per rappresentare le trasformate di Y 
su cui tali punti sono effettivi, ed i corrispondenti punti V. La 
superficie polare (1°) di un punto V rapporto alla corrispon- 
dente si rappresenterà colla lettera ® affetta dai medesimi 
apici ed indici. Se F e F® sono due superficie, trasformate 
l’una dell’altra per una delle nominate successioni di trasfor- 
mazioni quadratiche, anche le loro polari ®, ® sono trasfor- 
mate l’una dell’altra per la stessa successione di trasformazioni (*). 
Se ora A è un punto doppio (effettivo) di N”, ® passa per 
esso. Si conclude che la superficie ®, polare di un punto ge- 
nerico V rapporto ad F, passa (semplicemente) per tutti i punti 
doppi di F, siano essi effettivi, 0 successivi a punti doppi effettivi. 
Se V non appartiene al piano tangente ad F in A, sup- 
posto punto doppio uniplanare, e se A’ è un punto doppio suc- 
cessivo ad A, la retta V'A' non sarà tangente ad F' in A' (?) 
e così se una successione di punti A A'A"... son tutti doppi 
per /, le rette V'A', V'”A",... non saranno tangenti in essi 
punti rispettivamente ad N", /",... Le superficie D', ®",... 
passano per questi punti avendovi come piani tangenti i polari 
div Vv’, V",.: rispetto ai coni tangenti a <P WE 051 
se dunque questi coni si riducono a piani doppi, ®', ®",... 
saranno esse stesse tangenti a questi piani ; al contrario il loro 
piano tangente segherà questi coni in due generatrici distinte 
se essi non son degeneri, e se essi si spezzano in una coppia 
di piani li segherà nell’asse della coppia. 
Se dunque Al) è un punto doppio uniplanare, non solo ® passa 
per esso, ma ancora passa per la retta a*!) ad esso successiva e 
viceversa se ® contiene tutta una linea di F successiva ad Al, 
Al è uniplanare e tal linea è una retta. Potrà poi essere linea 
di punti doppi, ovvero di punti semplici: in questo caso suc- 
(1) Cfr. Sere, l. c., p. 34. Levi, Sulla riduzione delle singolarità pun- 
tuali delle superficie algebriche ecc. (“ Annali di Mat. ,, Serie II, vol. 26), n. 8. 
Richiamerò questo lavoro col segno &. 
(?) Poichè V'A' deve tagliare 7" in A' non più di due volte. 
