PUNTI DOPPI UNIPLANARI DELLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 153 
numeri P;, si può dedurne i valori dei numeri p;©) relativi a 
tali punti; ne risulta che questi valori debbono essere uguali 
per le due curve C e C; : eliminando dalle curve C e €; la 
parte comune 4 si potrà quindi affermare che i punti doppi 
di F successivi ad A per cui passa la curra contorno apparente 
di F rispetto ad un punto non appartenente al piano tangente in A 
appartengono pure ad ogni altra curva contorno apparente di F 
rispetto ad un punto analogo e le due curve vi hanno le medesime 
miltiplicità (*). 
11. — Dalla formola (1) del n° 6 possiamo ancora dedurre 
che l’ultimo punto doppio di F su ogni ramo dei contorni apparenti 
di F rispetto ai punti generici nominati è sempre conico. Basti 
osservare che se A”! appartiene alla C, esisterà certo un punto 
successivo appartenente alla C medesima: sia A”; sarà u”)21; 
se AD è uniplanare, onde P!-Y=3, segue allora dalla (1) no- 
minata Pl!=2; se 4-1 è biplanare, si ricordi (n° 2) che i due 
rami (totali o parziali) di C©-D sono tangenti all’asse della 
coppia di piani tangenti ; si dedurrà ul” 4 g!M = 2 che, insieme 
con PP") = 2, dà ancora PM = 2. In ogni caso adunque, se 
A#-! non è punto conico, il punto successivo ad esso su un 
ramo della curva C è ancora doppio. Poichè a un punto doppio 
conico non possono seguire altri punti doppi, si deduce ancora 
che il più ampio itinerario di punti doppi che seque un ramo della 
curva di diramazione non può essere prolungato coll’aggiunta di 
nuovi punti doppi : l’ultimo dei suoi punti doppi non appartiene 
quindi ad una curva doppia successiva ad A. 
Lo stesso ragionamento permette di invertire parzialmente 
la proposizione : ogni itinerario di punti doppi che non possa es- 
sere prolungato coll’aggiunta di nuovi punti doppi termina con un 
punto doppio conico ; esistono però di tali itinerari che non ap- 
partengono alla curva di diramazione. 
12. — Un punto A”, successivo ad A4,;;}, appartiene all’iti- 
nerario generico contenente AA'...4,;) quando nell’itinerario costi- 
(1) Dal fatto che fra questi punti ne esistono di quelli semplici per 
qualche curva F, risulta che essi saranno semplici per le l relative a tutti 
i punti dello spazio (esterni al piano tangente in A) e che queste curve 
sono quindi tutte semplici (cfr. n. 4). 
