PUNTI DOPPI UNIPLANARI DELLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 155 
Composizione secondo l'itinerario generico fra quelli tangenti 
ad una delle u direzioni singolari. Tutti questi itinerari hanno 
comuni due punti A, 4',; nella formola (1) si dovrà porre /= 1, 
jP=1, v=v="1, e, poichè si suppongono distinte le u tangenti 
della curva di diramazione, w', = 1; si otterrà P,=P_-1= 
=2k — 1. Siccome 2% > 2, per ipotesi, A', è ancora doppio, 
la potenza dell'itinerario generico che lo contiene è P, +2 = 
=2k+-1; ciascuno di questi itinerari contiene % punti doppi, 
l’ultimo dei quali è uniplanare. Una superficie passante sempli- 
cemente per A, tangente ad una delle u direzioni singolari, e 
del resto generica, sega Y secondo una curva per cui A è ori- 
gine di un solo ramo di 2° ordine e precisamente è cuspide di 
k-ma specie. 
Itinerari di maggior particolarità. — Sono : 1° Gli itinerari 
che hanno più punti doppi per /, su una stessa retta doppia 
successiva ad A; la loro potenza, data dalla formola (I), si 
eleva per l’elevarsi del valore di v. Così, si considerino gli iti- 
nerari generici contenenti A, A',, A'3, dove A', appartiene ad a’: 
sarà v=2, vy="1, u,=l1 o =0 secondochè A', appartiene 
o non a una direzione singolare, u’, = 0; nei due casi quindi 
po=2P_T-2—-2=4—5 o P,=2P_2—-2—-2= 
=4k—6; risulta ancora che A', è doppio e che la potenza 
dell'itinerario generico contenente A A", A’, è P'9 42.2, cioè, 
nei due casi, 4k --1 o 4k—-2. Questi itinerari contengono 
quindi 2% — 1 punti doppi, l’ultimo dei quali è uniplanare o 
biplanare (n° 12) secondochè A', appartiene o non a una dire- 
zione singolare. 
2° Gli itinerari che contengono altri punti della curva 
di diramazione C. Se A A' A"...A' appartengono tutti ad un 
ramo di Csi ha PU=P_-=2k-—l| e sarà P!"=>2 finchè 
<2k — 2: si ritrova un fatto già enunciato in generale al n° 9, 
che cioè su ogni ramo di C 2%X — 2 punti, semplici per C, suc- 
cessivi ad A sono doppi per / e comuni quindi a tutte le curve 
di diramazione (!). 
a, 2) CusPipE DI %-MA SPECIE. — Composizione secondo l’iti- 
nerario generico: k caratteri 2; immediatamente successiva al- 
(*) Cfr. per X=2 e X=83 i casi del tacnodo e dell’oscnodo in SEGRE, 
daresens lere 19. 
