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l’ultimo punto doppio una sola retta semplice. Una superficie 
generica passante semplicemente per A sega F secondo una 
curva per cui A è cuspide di X-ma specie. La potenza dell’iti- 
nerario generico è P=u=2%k+ 1. 
Ripetendo passo passo i calcoli precedenti si ritrovano ana- 
loghe conclusioni: Una superficie che passi semplicemente per 4, 
non avendovi altra particolarità che un contatto d’ordine 7 con 
un ramo della curva di diramazione €, sega # secondo una 
curva che, finchè /<2%X —1 possiede %X + si punti doppi 
consecutivi (!) e passa per A con due rami o con uno solo a 
seconda che / è dispari o pari. 
D) Più RAMI DELLA CURVA C si toccano. — La curva © 
continui a passare per A con u rami lineari, ma 722 di essi 
abbiano la stessa tangente; più precisamente abbiano a comune 
(essi e non altri rami di C) i punti successivi A A' A"... A(0. 
Nulla differenzia i casi speciali da quello generico dianzi trat- 
tato, per quanto riguarda gli itinerari generici. Si considerino 
invece gli itinerari che contengono A A"... A‘ #<1; si avrà 
ancora tutte le v=1; invece w=pu"=...=p0= 1; quindi, 
dalla (I), PO=P+ t(m — 2)= P. Si ritrova intanto P0> 2, 
e cioè i punti A A'A"... A son tutti doppi per F (n° 9); sul- 
P+ si 
2 
punti doppi, la sua potenza essendo P0 + 2t= P+ tn. Se poi 
si suppone di prolungare l'itinerario A A’... A coll’aggiunta 
di nuovi punti di un ramo di C che dopo Al non abbia più 
punti comuni con altri rami e si chiama A A°... A... A® il 
nuovo itinerario, si ha P9=P4+t(n-2)—(u—t)=P+tqt(m—-1)- u. 
A sarà dunque doppio finchè u<P-++t(m—1)—2. Sul ramo 
considerato succedono cioè ad A altri P+t(n—1)—2 punti 
doppi, comuni quindi a tutte le curve di diramazione. 
Si supponga ancora di considerare un itinerario contenente 
i punti AA°... AN! 40... A% restando t<t (47... A‘ si seguano cioè 
sulla-retta al); siavrà.v=v;=..=và=} = WS 
u9=..=u!=0, onde la (1) darà P! = j[P_4+(@—-1D(n-2)]+ 
l'itinerario generico contenente questi punti stanno anzi | 
(4) Cfr. pei casi di X=="1 e X=2 il regresso di 1* e di 2* specie in 
SEGRE, l. c., ni 8 e 18. 
