PUNTI DOPPI UNIPLANARI DELLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 157 
+m+2. Questo numero sarà sempre >2 se P_4+(t—1)(m-—2)20; 
vale a dire che se P>4 ovvero P=3 m=3 t>1 le rette aMt<1t) 
son tutte doppie per F; invece per P=3, m=3 (cuspide di 
1° specie colle tre tangenti singolari riunite) la retta a' sarà sem- 
plice per F, ma successivi al punto A' contiene altri due punti 
doppi (2), perchè, essendo P—4 = — 1, sarà ancora P/=2 per 
j=2 ej=3; infine per P=3, n=2 (cuspide di prima specie 
con due tangenti singolari coincidenti) sarà, per ogni valor di #, 
Pi=n+2—-j;j=4—j, e sarà quindi P)=2 solo per j£2: 
ciascuna delle rette al” è dunque semplice, ma su ciascuna di esse 
al punto A' di C segue ancora uno e un sol punto doppio neces- 
sariamente conico (n. 11). Un punto cuspidale di una linea doppia 
nodale si trova nelle condizioni ora considerate; ad esso sono 
evidentemente successivi lungo la linea quanti si vogliano punti 
doppi, ciascuno dei quali è ancora cuspidale ed ha successivo ad 
esso, fuori della linea doppia, ancora un punto doppio conico. Il 
punto A4,' nel caso P=nm=3 presenta un caso particolare di 
questa evenienza. 
Si supponga infine di considerare un itinerario contenente 
AA'... AMAT+D... A, A... A, i punti Af+D... A,' succeden- 
dosi su un ramo semplice di C e non appartenendo ad altri 
rami di C che a questo, A4;‘... A appartenendo alla linea « 
successiva ad 4-1) Si avrà vav;=...Vy-1=), \=1, W=w"=... 
sur, ud. .=ul0=1, ul... =pl0—=0, onde la (1) 
darà P©=j[ P_3+1(m—1)—v]4-3. Questo numero sarà sempre 
>2 finchè P_3+1(m—1)=% (siccome si suppone «>, questa 
disuguaglianza potrà verificarsi solo se P>3 ovvero m>2); la 
linea a è allora doppia per 7; ma se u= P+ t(m_1)—2, 
P(< per ogni j=2; onde segue, confrontando con un risul- 
tato precedente, che tutti i punti doppi di Y su un ramo sem- 
plice di C, successivi ad A‘, stanno su linee doppie di /, ad 
eccezione dell'ultimo, conformemente al fatto noto (n. 11) che 
quest’ultimo punto è conico. 
c) LA CURVA € POSSIEDE UN RAMO SUPERLINEARE. — Si sup- 
ponga ancora che la curva C possegga un ramo d'ordine n (2 2): 
precisamente si supponga che nessun altro ramo di C abbia la 
stessa tangente e che su questo siano t-pli i punti AA'...A® e che 
(*) Cfr. SeaRrE, l. c., n. 14. 
