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il punto successivo A,l+!) sia semplice. Alla linea all+) apparter- 
ranno i punti A;(T+1) 4,741)... Axl+! tutti semplici pel ramo con- 
siderato. 
Se si considerano itinerari legati a contenere solo #<T dei 
punti A4'... A nulla vi è da mutare alle cose dette in 6). Si 
considerino invece gli itinerari. contenenti A A"... AM A;(741),., 
n Agl+D) A(T+2)... A®, tutti punti del ramo di C considerato; si 
avrà vv, =ia=M ST; Wars 
pugle+) — pglt+l) — Me pl == 0) Rea 
P — n(P_3)+ im(r--2)+71+3—-%, onde si vede che A 
sarà doppio finchè u=n(P— 3) + inn —-2) +14 1. Partico- 
larmente notevoli i casi di P—=3, t—2 e P=3, mn=8, t=0 
in cui, e in essi soli, al punto AxT* non succedono altri punti 
doppi del ramo. 
14. — Arbitrarietà della curva C. — La formola (1) 
determina la composizione della superficie lungo ogni itinerario 
uscente da A quando sia nota la composizione in A della curva €, 
intersezione di F colla superficie ®, polare rispetto ad di un 
punto non appartenente al piano tangente in A. È importante 
mostrare che tal composizione in A della curva C è completamente 
arbitraria, purchè compatibile colla condizione che © possa appar- 
tenere ad una superficie per cui A sia punto semplice (la super- 
ficie ®). Con maggior precisione, assegnate arbitrariamente delle 
curve A,, Ag,...,0 tali che la curva complessiva da esse costituita 
appartenga ad una superficie avente in A punto semplice ed asse- 
gnata per ciascuna curva A; una multiplicità m,22, supposto 
inoltre che la curva costituita da queste linee, contate ciascuna 
colla sua multiplicità (attribuita a T la multiplicità 1) abbia 
in A punto almeno triplo, esiste una superficie F_ avente in A 
punto doppio uniplanare e di cui la curva €, relativa ad un certo 
punto dello spazio, si compone, per la sua parte passante per À, 
di T e delle curve A; (ciascuna doppia per F) colle rispettive mul- 
tiplicità m.. 
Sia difatti Z =0 l'equazione della superficie che si suppone 
passare semplicemente per A e contenere le curve 4;, l, e si 
supponga che il suo piano tangente in A non passi pel punto 
x=y=0, 2=0%; siano inoltre è,= 0, y=0 le equazioni dei 
coni projettanti da questo punto le curve A;, T, rispettivamente ; 
