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si ponga allora /=u—3, e si indichino con m, nuove forme 
d'ordine r in x ed y; si avrà infine 
(II) È Fay) =@4+%: +... Xu) + ta Pai De 
L'equazione di ogni curva per cui l'origine sia nodo 0 cu- 
spide di k-ma specie può dunque sempre portarsi nella forma (II) 
dove u=2k 0 u= 2k+ 1 rispettivamente per le due singolarità. 
(Qualora il numero 2u — 4 fosse maggiore dell'ordine » della 
curva, questa equazione conterrebbe formalmente termini d’or- 
dine > n). 
16. — Supponiamo inversamente che l'equazione d’una 
curva possa portarsi nella forma (II) (con u > 2); la curva avrà 
nell'origine punto doppio coll’unica tangente la retta «x=0; 
dunque un nodo di specie > 1 o una cuspide; immaginati de- 
dotti dalla F=0 gli sviluppi in serie rappresentanti i rami 
della curva aventi le origini sulla y= 0, si potrà ancora scri- 
vere, mediante trasformazioni analoghe alle precedenti, 
cm | Hey)= (2) [(14-w4+wat-+Wu-s)? ++] 
(0.970) 
onde 
Da F(xy) yu—2+... | 
1+y+y+...+yz-3)? met (ea)[ 1 Li (1+y+... +3)? | 
Ma la (xy) si rappresenta, per ipotesi, nella forma (II); 
si ha dunque 
etxet. Ate? SE a+ retr +. _ 
1+y+...+ye_s (14y1+...4+ye—3)î 
ci)la— -2+...) 
= (ale aa + t pat 
ses : 1 BAL si + 
Si ricordi ora che PE gia È 1-y+(9_y)+..; 
portando nel primo membro il 2° termine del secondo si con- 
clude che (r—x;)(r—xs) differisce solo per termini d'ordine 2 u da 
LATI. Axa 2 “ 
1+ytyrt..+yes ) (et Ae tetro 
