PUNTI DOPPI UNIPLANARI DELLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 163 
le \, essendo forme in « ed y, d’ordine r. Ma il prodotto 
(e—-x1)(c—x,) deve assumere la forma 
a) —c) = (+ ag + ag +... +ey +), 
dove u è un certo intero; e, a causa dell’osservazione già fatta 
che 59==0, qualunque alterazione si porti a questa forma per 
aggiunzione di termini nella prima parentesi, e successive sot- 
trazioni fuori, si otterranno sempre fuori del quadrato, termini 
d'ordine <“ u; la precedente conclusione circa l’ espressione di 
(e-x))(ex—x) mostra quindi che deve essere u= u. Vale a dire: 
Se una curva può rappresentarsi coll’equazione F(xy)=0 ove F(xy) 
ha la forma (II), ha nell origine un nodo o una cuspide di 
specie aLe |. E precisamente, a causa della precedente pro- 
posizione, non avrà punto doppio superiore (*) sempre e solo quando 
la forma (II) non possa trasformarsi in altra analoga in cui n 
abbia valore maggiore. Condizione necessaria e sufficiente perchè 
questa trasformazione non sia possibile è che mu non sia divisibile 
per x. Se infatti 7, contenesse tal fattore, si ponga 
PRE i, a , 
Ku Sr p+1=Tu+1 2XoXu1, Tu+2=MTu+2— QXsXa—1, 3 
7 33 2 - 
Tou-2 = TMu-2 -Xu-1; 
la (IT) prenderà allora la forma: 
= dee ea st Xe ir ear: 
(0777) 
“DE - Toy Meg) L Tay—1 L dò 
analoga alla precedente, ma in cui u ha preso il valore u+1. 
Reciprocamente si supponga che, con una conveniente scelta 
delle x, e delle r,' la (II) possa pur scriversi 
L Ram = (e +x' + +++ Wu +; 
(0970) 
(1) Chiamando la cuspide di X-ma specie singolarità superiore al nodo, 
il nodo di X + 1-ma specie superiore alla cuspide di %-ma specie. 
