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sottraendo l'una dall’altra le due espressioni si ha: 
O=(e+xo' +. Ax? @I%+t- 4%)? +e 
ovvero 
0=[22+ (xe +xe) +-+ (kuetx'u-)t ra A 
+ Mur — Xu-2) E Xu] ‘dd mu + (mi di; +1) +... 
Se ora, nel primo addendo, si suppone che delle differenze 
xo — Xe, Xs'—Xs; ... la prima non nulla identicamente sia Xx. —X,, 
lo sviluppo del prodotto darà luogo al termine 2x(x,' —x,) irre- 
duttibile con altri se r<u—1, il che contraddice all’annullarsi 
identico dell’espressione. Si ha dunque y,'= x, per r=2,....u—2 
e i termini di grado minimo del secondo membro nella prece- 
dente uguaglianza sono 2xX'u-1-Ty; per l’annullarsi identico 
deve essere t,= 2xYX'u-1, cioè my divisibile per «. 
17. — Una warietà a d — 1 dimensioni, immersa in uno 
spazio lineare a d dimensioni, si dica avere in un punto A nodo 
o regresso di %-ma specie quando tal singolarità ha la sua se- 
zione piana generica passante per A; come per le superficie, 
si vede in generale che il cono tangente in A alla varietà si 
riduce ad un iperpiano doppio per ogni regresso e pei nodi tosto 
che % > 1. Si assuma allora A come origine delle coordinate e 
l’iperpiano tangente come « —=0; si ponga ancora u= 2% o 
u=2k+1 secondochè si tratta di nodo o di regresso: condi- 
zione necessaria e sufficiente perchè la varietà F(xyz...)=0 
abbia nell'origine la nominata singolarità è allora che possa scri- 
versi, a meno di un fattor costante, 
(III) F(xyz...) = (C+x0+X3t-4Xu-2)?+ Tu ci mu+r ti 
dove x, e tr, rappresentano forme algebriche di grado r in xyz... 
e tu non è divisibile per x. Poichè infatti si ottiene una sezione 
piana ponendo per le coordinate 2,... combinazioni lineari ar- 
bitrarie di x e di y, è evidente che tal posizione conduce la 
forma (III) alla forma (II) e quindi la condizione esposta è suf- 
