PUNTI DOPPI UNIPLANARI DELLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 165 
ficiente. Per dimostrarne la necessità si osservi che, poichè il 
cono tangente a F è €£2=0, si avrà 
F(xyz....=x + 3+ +... 
dove le ©, sono forme d’ordine r in x, y, 2, ..; si supponga allora, 
per generalità, che tale espressione possa portarsi nella forma 
eo RTG +L. TX +9; pp 
per un certo valore di j e non alla forma analoga per un valor 
superiore di ) (per j= 3 si ha l’espressione precedente) ; il ra- 
gionamento del n° prec. mostra che ciò equivale a dire che @; non 
è divisibile per x; si possono allora determinare per 2,... tali 
combinazioni lineari di x e y che, anche dopo la sostituzione, 
@; non contenga il fattore x, e si determina con ciò una sezione 
piana per cui A è un nodo o una cuspide di specie | e non 
superiore (n° 15). Affinchè tal punto non abbia singolarità in- 
feriore alla voluta deve dunque essere j= u. (Per j > u la sin- 
golarità si eleverebbe su tutte le sezioni piane; si eleverebbe 
cioè la singolarità del punto). 
18. — La rappresentazione analitica ora trovata ci per- 
mette di riottenere sotto nuovo aspetto qualcuno dei risultati 
già esposti per via geometrica e di darne qualche generalizza- 
zione. Si consideri la varietà rappresentata dall’equazione (III); 
ordinando m, secondo le potenze di «, sia t,, il gruppo dei termini 
indipendenti da x: sarà una forma di grado u in y, 2, t,... e non 
sarà nullo, perchè tr, si suppone non divisibile per x. La condi- 
zione perchè una certa posizione: 2 = 00 + By, t=@3r + Bsy,... 
renda my divisibile per x è che m, si annulli per 2 = By, 
t= B3Y,... cioè per la retta d’intersezione del piano = =02+ By,... 
conx=0. L'equazione mu(y,2,...)=0 rappresenta quindi nel- 
l’iperpiano x=0 un cono di tangenti singolari ad F, tale che ogni 
piano passante per una di esse (e soltanto un tal piano) sega F 
secondo una curva che ha în A punto doppio superiore a quello 
della sezione piana generica. Nel caso di tre sole variabili (super- 
ficie ordinaria) questo cono si riduce alle u tangenti singolari. 
