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Supposta soddisfatta la condizione m(1,B,, 8», ..)= 0, V'e- 
quazione della sezione piana potrà portarsi nella forma 
(e + xe + xs rente Xu—2 + Vu) + muti + E 
2 1192 : ha ; 
e sarà T'y41 = Tati — Xe i (n. 15); si può chiedere se possano 
ancora scegliersi le @,, 09, ... in modo che si abbia una ulteriore 
elevazione della singolarità della sezione; dovrà perciò annul- 
larsi in 1 y+1 (che è ora una forma in x ed y) il coefficiente 
di y+!; tal coefficiente è generalmente una espressione lineare 
in 0, 09, ...; per ogni generatrice singolare esiste dunque un 
sistema lineare di piani (di dimensione d — 3) che segano la 
varietà secondo una curva che ha nel punto doppio singolarità 
maggiore (Nel caso delle superficie ordinarie si avrà un piano 
per ciascuna tangente singolare). Fa eccezione il caso di u=3 
: : T3 \2 rato ° 5 5 
in ui tga=m = (3) e quindi il coefficiente di y4 in 
i \ 
questa espressione diviene quadratico in 0,, 09, ... Altri casi di 
simile eccezione si presentano d’altronde in corrispondenza a 
generatrici multiple di mi = 0. 
La ricerca può spingersi innanzi nella determinazione di 
sezioni di maggior singolarità e di generatrici di mi =0 tali 
che la singolarità si elevi per tutte le sezioni fatte con piani 
per esse, ma essa perderebbe oramai il suo principal interesse. 
19. — Appendice: Forma dei punti doppi uni- 
planari. — Si può avvicinare le proprietà trovate per il con- 
torno apparente della superficie in prossimità di un punto uni- 
planare alla nozione che possiamo formarci delle forme dei punti 
doppi uniplanari (!). Considereremo, per semplicità, il caso in 
cui pel punto doppio non passi la linea doppia della superficie : 
chiameremo, come al solito, A il punto doppio, V un punto non 
appartenente al suo piano tangente. Una retta per V, sufficien- 
temente prossima alla VA, taglierà la superficie, in prossimità 
di A, in due punti reali o immaginari ; e se si considera, in- 
(4) La forma dei punti doppi biplanari fu determinata dal KLein (Ueber 
Flichen dritter Ordnung, © Math. Ann. ,, 6) e dal Ronn (Ein Beitrag zur 
Th. d. biplanaren una uniplanaren Knotenpunkte, “ Math. Ann. ,, 22). 
