SUL CALCOLO APPROSSIMATO DEGLI INTEGRALI DOPPI, ECC. 169 
rettamente, o da quella di Newton. La differenza tra la funzione 
f(x) e il polinomio di interpolazione si dice resto, ed esprime 
l'errore che si commette prendendo il polinomio di interpola- 
zione in luogo di f(x). È di capitale importanza la considera- 
zione di tale resto e l’esame dei diversi modi di esprimerlo, 
proprio nella stessa guisa che nel problema del Taylor (del 
quale quello dell’interpolazione è una estensione) dallo studio 
del resto si deduce la possibilità o meno dello sviluppo della 
funzione in serie del Taylor. Si ha dunque, detto R il resto: 
fa) = (2) È 
e prendendo la formola d’interpolazione di Lagrange: 
O, 
nerd r-Lo)(er-2)..(erar(er— cr)... (er—En) 
dove: 
Pes (ero) a). (en) n4-1( 
Ba (n+1)! f (£) 
essendo z compreso fra xo, %1; ..., Xn €. 
Integrando termine a termine risulta : 
ran 
(far =Y f)1,+|" Ras 
dove le quantità /, sono integrali indipendenti dalla natura della 
curva f(x), il calcolo dei quali può anche semplificarsi cam- 
biando variabile in modo che i limiti diventino 0 e 1, per il 
che basta fare la posizione « = a 4 (0 — a)t. 
Il Cotes, che ha indicato questo metodo, suppone le ordi- 
nate equidistanti, e costruisce una tabella contenente i valori 
dei coefficienti per un certo numero di valori di n, con che si 
ha il valore approssimato dell’area quando si sian misurate le 
ordinate f(x,). 
Il Gauss, invece di attribuire alla variabile valori in pro- 
gressione aritmetica, li sceglie in guisa da ottenere la massima 
approssimazione. Il metodo di Gauss è certo quello da preferire 
per il calcolo approssimato delle aree per un numero determi- 
