208 J. L. COOLIDGE 
rallèles passant par un point fixe sont bien déterminés, et nous 
pourrons définir un rayon comme une droite orientée, c’est-à-dire, 
telle que chacune de ses chaînes de points ait un sens déter- 
miné de description. Il y a un élément d’arbitraire dans cette 
définition, car, puisque chaque droite porte une triple infinité de 
chaînes, elle peut porter un nombre infini de rayons. Il faut 
s'imaginer que préalablement on ait assigné à chaque chaîne 
de chaque droite un sens bien déterminé, et qu'il soit permis 
de renverser le sens de l’une chaîne d’une droite, seulement si 
l'on renverse celui de toutes les chaînes de cette droite; ce qui 
donne le rayon opposé. Les choses s’embrouillent quand nous 
avons: 
zigg +1=0 uo +1=0. 
Nous voyons, d’après (2), que p., + px= 0, particularité 
distinctive des génératrices gauches de l’Absolu, c’est-à-dire de 
celles qui déterminent le parallélisme à gauche, d’après nos con- 
ventions. Pourtant les génératrices gauches en elles-mèmes ne 
serviront pas, car elles dépendent d’un seul paramètre, tandis 
que le couple de points dépend de trois. Il faut pousser plus 
loin. Effectivement, si nous nommons cette figure de l’espace 
sphérique, quelle qu'elle soit, un “rayon impropre gauche , et 
si nous définissons l’intersection orthogonale entre elle et un 
rayon propre (tels que nous les avons connus jusqu’à-présent) 
X, ... TX... Ty' par les équations: 
xx, 4 Yr,4 zz/-0, Vari Py S7EZNI 
nous aurons une double infinité bien déterminée de ces rayons 
propres. Leurs parallèles droits, issus d’un point fixe, seront 
dans un plan, et ces rayons eux-mémes, d’après un théorème 
connu de Von Staudt, couperont les génératrices droites de 
l’Absolu dans les couples d’une involution non parabolique. 
Inversement, si nous avons une génératrice gauche de l'Ab- 
solu qui porte une involution non-parabolique de points et de 
plans en perspective avec une involution entre les génératrices 
droites, l'ensemble des rayons propres qui coupent cette géné- 
ratrice gauche, et qui coupent les couples de l’involution des 
génératrices droites est une congruence bien déterminée, assujettie 
à des équations linéaires, semblables à celles déjà citées. 
