210 J. L. COOLIDGE 
Nous supposons maintenant que nous ayons une correspon- 
dance directement conforme et analytique entre nos deux sphères, 
et en outre, que le régions réelles se correspondent entre elles. 
Ceci exige que quand 2,=z; nous ayons en méme temps us =%;. 
Finalement les deux systèmes de génératrices de l’une sphère 
sont transformées en celles de l’autre. Nous aurons: 
(5) u, = (21) ug = (22). 
Il s'agit alors d’étudier la fonction monogène %;(2;). En 
première ligne il faut se rendre compte des circonstances dans 
lesquelles l’identité suivante aura lieu: 
(6) î( me \= sno 
Ceci exprime la condition nécessaire et suffisante pour que 
l’opposé de chaque rayon de la congruence lui appartienne 
également. Elle a, en outre, une autre signification non moins 
importante. Cherchons les rayons impropres de seconde espèce 
de la congruence. Nous aurons: 
zig +1=0 uu, +1=0 
_fl 
un (21) a) +1=0 
x | a) —1 
U1 = 
4 us(21) i 
On voit que les racines de cette équation sont deux-à-deux 
des couples de valeurs imaginaires diamétrales. Si nous prenons 
i —1 
une racine quelconque, et mettons 2, = —, > nous aurons un 
4 
rayon impropre de seconde espèce de la congruence. Si nous 
prenons deux racines différentes, en leur attribuant les valeurs 2, 
et pain l’opposé du rayon (2123) de la congruence lui appartiendra 
22 
aussi. 
Il faut approfondir la chose davantage. On voit, d’après les 
formules du $ premier, que les rayons impropres de seconde 
espèce qui coupent, en angle droit, un rayon propre 2,22, Us 
seront donnés par les équations: 
(21 — 21) (2° — 29) =0 (u, — 1) (2 — ug) = 0. 
