LES CONGRUENCES ISOTROPES, ETC. 211 
Il y aura alors quatre rayons impropres, dont les points 
de contact de deux seront sur le rayon donné; les plans des 
deux autres passeront par là. Afin de distinguer plus nettement 
nous prendrons le cas spécial d’un rayon passant par l’origine 
(10,0, 0). 
Nous aurons X= X°' etc. : 
2a = U Rig — Us. 
Les rayons impropres, dont les plans passent par ce rayon 
seront alors: 
MENA une 
1 1 
za =— ug = — — 
Zi Un 
et 
1 29 L Ua 
Zu —=:2a UST: 
Ces conditions sont invariantes pour tous les mouvements 
de l’espace riemannien, à cause de l’invariance de l’ensemble 
des rayons impropres de seconde espèce: 
zizi +1=0 u ug +1=0. 
Nous avons ainsi les équations pour déterminer les rayons 
impropres dont les plans passent par un rayon donné quelconque. 
Prenons un rayon de notre congruence isotrope, et cherchons 
la condition sous laquelle les rayons impropres, dont les plans 
passent par là, appartiennent eux aussi è notre congruence. 
Nous aurons tout-de-suite: 
Ua (FI) LL d,(22) = = 
4 un(21) 
comme condition nécessaire et suffisante pour que l’opposé du 
rayon appartienne également è la congruence. 
. —1 97 e 
Inversement, prenons deux solutions 2,’ et —> de l’équation: 
#2 
È (=) — l 
U\—|= 
2 ue) | 
