214 J. L. COOLIDGE 
Ce sont ici les formules connues pour un déplacement de 
la sphère de Gauss. Inversement, on s’assure facilement que 
dans la transformation (8) les distances sont invariantes. Nous 
avons les formules cherchées. On remarque ensuite que, puisqu’un 
deéplacement de la sphère conserve les distances, nous avons 
un ensemble de rayons, chacun desquels coupe chaque autre (*), 
c’est-à-dire, ces rayons passent tous par un point fixe, car les 
rayons situés dans un plan ne forment pas de congruence iso- 
trope. Cherchons les coordonnées de ce point. Nous commengons 
par appliquer les formules (4): 
pX=(— a+ 824 e — d°) X'4 2(ab + cd) Y' + 2(ac — bd) Z' 
pY=2(cd — ab) X' +(— a+ 5°— c°+ d°) Y' + 2(bce + ad) Z' 
pZ = 2(ac+ bd) X' + 2(ad — be) Y' + (aa +0 — e — d°)Z' 
forme bien connue pour la substitution orthogonale, exprimée 
au moyen des paramètres d’ Euler. En outre, ce sont préci- 
sément les formules que nous aurions obtenues en cherchant la 
condition sous laquelle un rayon passerait par le point: 
Wo e a ada — CTR 
D’une fagon semblable nous obtiendrons l’expression pour 
la congruence de rayons dans le plan (b, c, d, @) en écrivant que 
les polaires de ces rayons passent par le pòle de ce plan: 
(9) iO: (c-di)zzt-(a+bî) dI DIO (ct+di)z+(a—bdi) 
1° —(a—bi)zzHetdi) 27 —(a+bi)z4(e—di) * 
Passons maintenant au cas général de (7). Nous demandons 
dans quelles circonstances la congruence contiendra l’opposé de 
chacun de ses rayons. En appliquant l’identité (6) nous aurons: 
abt+yò=0 
aa + Y=BB+ dd. 
(*) C.1Etpre: 
