LES CONGRUENCES ISOTROPES, ETC. 215 
Celles-ci sont les équations de condition pour la forme (8). 
Si cette identité ne subsiste pas, l’ordre et la classe de la con- 
gruence de rayons seront égaux è l’ordre et è la classe de la 
congruence des droites qui les portent. L’ordre est obtenu en 
comparant (7) avec (8): 
oz44-B __ (atbie,—(c—-di) azz+-B SE (a—bi)zz—(c+di) 
yad4d © (c+di)at(a—di) Yertò (c-di)z:t-(a+bi) * 
Chacune de ces équations aura deux racines, et celles de 
l’une sont les imaginaires conjuguées de celles de l’autre. On 
peut alors les combiner en quatre manières, dont deux seulement 
nous donnent des rayons réels. On s’apergoit que quand la 
fonction linéaire prend la forme spéciale (8), il y aura une simple 
infinité de rayons impropres de seconde espèce (touchant è 
l’Absolu le long de son intersection avec le plan polaire du 
point fixe), dont deux passeront par un point quelconque. Les 
deux rayons propres qui y passent seront opposés, de sorte que 
l’ordre de la congruence de droites se réduit è un: comme nous 
devions nous y attendre. Pour en trouver la classe, nous n’avons 
qu'à comparer (7) avec (9): 
[ala — bi) + r(e— dilexes + [rla + dd) — ale 4 di) + 
+ [B(@ — da) + dle — di)]z + [d(a + di) — B(C+di)]}=0. 
[a(a +2) + r(c+ dé)]2,2: 4 [B(a + 59) + d(c+ dale + 
+[T(a—d)]—a(e— di): + |[d(a— di) — B(c—-di)]}=0. 
Nous voyons qu’en général la classe est deux: elle se réduit 
à zéro dans le cas spécial (8), è cause des rayons impropres de 
seconde espèce, dont deux seront en chaque plan: 
La fonction linéaire d’une variable complexe qui donne un 
déplacement de la sphère de Gauss, correspondra à l'ensemble des 
rayons passant par un point fire, dont les coordonnées homogènes 
sont les paramètres d’ Euler du déplacement. Sì la fonction ne donne 
pas de déplacement, elle correspondra à une congruence de rayons 
situés sur une congruence de droites de quatrièòme ordre et de se- 
conde classe. Deux droites réelles de cette congruence passeront par 
chaque point réel de l'espace. 
