216 J. L. COOLIDGE 
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En effet, cette congruence est bien connue. La, surface fo- 
cale consiste en deux cònes tangents à l’Absolu, dont les som- 
mets sont deux points imaginaires conjugués (*). La droite qui 
joint ces deux sommets porte les deux rayons propres opposés 
de la congruence. 
$ 5. — Quelques autres fonctions monogènes. 
Supposons que nous ayons une fonction algébrique irré- 
ductible: 
im i=n fyxY 
(10) z sa Ami n-j UM == 
UM —0 
Envisageons l’identité (6). Nous savons que la surface fo- 
cale d’une congruence isotrope est une développable circonserite 
à l’Absolu (**). Dans le cas actuel les coordonnées plueckeriennes 
des droites seront des fonetions algébriques de <, et de <,. Hl 
en sera de méme pour les coordonnées des plans tangents à 
l’Absolu qui passent par elles, et la .surface développable enve- 
loppée par ces plans sera une surface algébrique. En outre,, 
puisque la congruence est supposée réelle, il faut que cette sur- 
face soit è équation réelle. Il y a, alors, les deux possibilités: 
ou la surface focale est réductible, composée de deux parties 
imaginaires conjuguées; ou bien c'est une surface irréductible. 
Si une droite de la congruence touche è l'Absolu (c’est-à-dire, 
si la congruence de rayons a un membre impropre de seconde 
espèce), ses deux points focaux tombent ensemble sur le point 
de contact, et de méme pour ses plans focaux; ce qui exige 
que les deux plans tangents è la surface qui déterminent cette 
droite soient des plans consécutifs. Dans le premier cas où la 
surface focale est réductible, il arrivera dans un nombre fini de 
cas qu'il y aura des plans tangents aux deux parties de la surface. 
L’identité (6) ne sera pas satisfaite. Dans. le second cas, la 
droite commune à deux plans consécutifs appartiendra à la con- 
(*) Sturm, Gebdilde ersten und zweiten Grades der Liniengeometrie. T. 2, 
pag. 320. 
(0) CARPA pe 
