LES CONGRUENCES ISOTROPES, ETC. 217 
gruence de droites, ce qui veut dire que la congruence de 
rayons aura une simple infinité de membres impropres de se- 
conde espèce. 
Nous obtiendrons l’ordre et la classe de la congruence de 
rayons en comparant (10) avec (8) et (9). Ainsi l’ordre sera 
(m + n)?, quoique par un point réel il passe (m + x) rayons 
réels seulement. La classe sera (m + n)? — (m? + n?). L’ordre 
et la classe de la congruence de rayons seront identiques à 
l’ordre et à la classe de la congruence de droites, dans le cas 
d'une surface focale réductible. Au contraire, si l’on cherche 
l’ordre et la classe de la congruence de droites qui porte une 
congruence de rayons à surface focale irréductible; il faut d’abord 
écarter le nombre des rayons impropres de seconde espèce qui 
passent par un point quelconque, c’est-à-dire, l’ordre de la courbe 
de contact entre la surface focale et l’Absolu; puis diviser par 
deux, parce qu'il y aura deux rayons opposés sur chaque droite. 
Nous avons exemplifié tous ces procédés dans le cas de la 
fonction linéaire. 
Les fonctions des polyèdres réguliers nous donnent des con- 
gruences isotropes qui se transforment en elles-mémes par des 
groupes de substitutions orthogonales en XYZ. Ces substitutions 
représentent dans l’espace elliptique (ou sphérique) des trans- 
lations è gauche; c’est-à-dire, des déplacements le long des 
systèmes de parallèles è gauche. Ces congruences-ci seront 
transformées en elles-mémes par des groupes de tels dépla- 
cements. 
Considérons la fonction transcendente: 
Uni" (cr, 
Il y aura un seul parallele è gauche è chaque rayon de 
la congruence, puisque la fonction est uniforme; celui qui vient 
des équations: 
> 
1 
Au contraire il y aura deux infinités dénombrables de parallèles 
à droite à notre rayon vj ws: 
Ui i eErt+-2hyTi 
SA pa 
—_ — ef1 +2WITi , 
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Atti della R. Accademia — Vol. XL. 15 
