218 J. L. COOLIDGE — LES CONGRUENCES ISOTROPES, ETC. 
Les droites de chacun de ces systèmes de rayons seront des 
génératrices d’une surface è courbure totale nulle. Chaque surface 
aura une génératrice commune avec la congruence de droites 
parallèles qui correspond au point singulier essentiel 2, = o. 
Nous aurons des résultats un peu semblables dans les cas 
de la fonction elliptique: 
u=P(2). 
Il y a encore ici un seul parallèle è gauche à chaque rayon. 
Au contraire la fonction est de second ordre, et doublement 
périodique. Il y aura ainsi quatre ensembles infinis de parallèles 
a droite è notre rayon: 
ui = P(21 + 2Ayw + 24gw3) 
U, = P (21 + 2h,'w, + 243'Wwsg) 
I Ple" + 2as''w + 2g) RI 
Ug 
ci = P(2,)"+ 2h!" wA4- 2h3""'w3) 
2 
Chacun de ces ensembles peut étre réparti, dans une infi- 
nité dénombrable de manières, sur une infinité dénombrable de 
surfaces à courbure totale nulle. Chaque surface contiendra un 
membre de la congruence de droites parallèles qui correspond 
au point singulier essentiel 2, = 00. 
Enfin on peut remarquer que, puisque la fonction modu- 
laire elliptique a, comme limite fermée, un grand cercle de la 
sphère de Gauss, les rayons réels de la congruence seront sur 
des droites qui sont toutes du méme còté d’un hyperboloîde 
minimum. 
Cambridge, États Units. Décembre 1904. 
