SULLA DEFORMAZIONE DELLE PIASTRE ELASTICHE, ECC. 231 
Supponiamo che l’area 0 sia semplicemente connessa e che 
contenga l'origine delle coordinate, allora la funzione U, biarmo- 
nica in 0, può rappresentarsi colla formola: 
U= pî@+ y (*), (= +y9) 
ove @, yw sono funzioni armoniche in 0. 
Si avrà allora: 
er <a d@ do |. 
(40) T= AU=4(p+e +9): 
(*) Per dimostrare questa formola, basta, come è noto, dimostrare che 
esiste sempre una funzione armonica @ che soddisfa ad un’equazione della 
forma: 
2 dari do 
ove c è una costante positiva e ® una funzione armonica. 
Da essa è facile dedurre quest'altra: 
do, d 
muta +y o ®, 
Y 
ove Po, d sono le funzioni armoniche coniugate di @, ®. 
Se ne trae: 
i Sdi : ; 
c(P—iPp) + XL SI se 19 © Sui = 1Do 3 (e= x +iy), 
ossia: 
dv Ti 
cv — & DE, = Y , 
avendo posto, il che è lecito: 
pi IPo = v(e), D iP = V(e). 
Ne risulta: 
1 ba 
= E4Y(2)da 
ara, 
e il cammino d’integrazione, che ha per estremi l’origine 0 e il punto 2 
dev'essere naturalmente tutto contenuto in o. La parte reale gp della fun- 
zione v data dalla formola precedente, è la funzione che soddisfa a tutte 
le condizioni richieste. 
La formola in questione, dovuta al prof. Almansi, è stata da lui dimo- 
strata facendo una ipotesi assai più restrittiva circa la natura del campo 0. 
In modo analogo si riconosce che, nell’area semplicemente connessa 0, 
la funzione biarmonica U può esprimersi colla formola, pure dell’Almansi: 
U= (ar + by)p + y, 
ove ®, w sono funzioni armoniche, ed a, d costanti. 
