290 FRANCESCO SEVERI 
corrisponde a &. Se, come supponiamo, v>1 ed il sistema $ non 
è composto con un’involuzione, cioè le v curve di S che passano 
per un punto generico di /, non passano tutte in conseguenza 
per altri punti della superficie, su @ si ha una 00°, 2, di gruppi 
di v punti, razionalmente identica ad : ogni gruppo è imma- 
gine di un sol punto di /, e per due punti di @ passano # gruppi 
(cioè n è l'indice e v il grado del sistema 2). 
Senza introdurre alcuna restrizione, possiamo supporre, una 
volta per sempre, che il sistema S non abbia alcun legame par- 
ticolare col fascio delle curve segate su F dai piani y==cost; 
e che inoltre il punto a di @, che rappresenta una curva fis- 
sata C di S, sia al finito e semplice per la ®, e che non pre- 
senti alcuna particolarità rispetto agli assi di riferimento. 
Costruiamo su un integrale abeliano w(zn), dovunque finito, 
tranne che nel punto «, ove presenti un polo del 1° ordine. Al- 
lora, dicendo &; &, ... &, i v punti di @ corrispondenti al punto « 
di F, la somma 
w(E,01) + w(E02) + ... + w(Em) { 
si trasformerà in un integrale di Picard 
J(xy2) = {Adx + Bdy, 
relativo alla superficie F (A, B son funzioni razionali del punto 
(ry2) variabile su /). L’integrale / si conserverà finito in ogni 
punto di Y non appartenente alla curva C; ma quando x tende 
id 
ad un punto generico di C, uno dei termini della somma Zw(%;n;) 
t=1 
tende all’infinito, senza che lo stesso accada di nessuno degli 
altri, onde anche J tenderà all’infinito. 
È pur facile vedere che la curva C'è polare per l’integrale J, 
cioè che trattasi di un integrale di 2* specie. Invero, mentre il 
punto x di / descrive un ciclo lineare 0, infinitamente piccolo, 
avvolgente il punto generico xy di €, l'integrale / aumenta della 
somma dei valori di w(zn) lungo i v cicli infinitamente piccoli, 
che corrispondono a 0. Ma siccome in ogni punto di @ è nullo 
dw 
de ? 
che il valore di J lungo 0 è nullo, e quindi che il punto x, è 
un polo. 
il residuo della funzione razionale integranda si conclude 
