SULLA DIFFERENZA TRA I NUMERI DEGLI INTEGRALI, ECC. 293 
2. — Nel lavoro, già citato, sugl’integrali di 2* specie 
appartenenti ad una superficie algebrica, ho dimostrato che, 
mediante sottrazione di funzioni razionali, ogni integrale di 
2% specie appartenente alla superficie /, può ridursi ad un inte- 
grale che divenga infinito (del 1° ordine) soltanto lungo una 
curva irriducibile C, priva di punti multipli, appartenente ad un 
sistema lineare regolare (sprovvisto di punti base). 
Se d è la dimensione del sistema lineare completo |C|, 
sarà d -14 P, — P., la dimensione della serie caratteristica 
completa esistente su C (e quindi d + P, — P, la dimensione 
del sistema algebrico completo che contiene totalmente |C]). 
Sulla serie caratteristica completa prendiamo una serie li- 
neare 9, di dimensione P, — P, — 1, che non abbia gruppi co- 
muni colla serie /) segata su C dal sistema |C|, e diciamo 
G, Gy... G(p=’,—-), p gruppi di 9g linearmente indipen- 
denti. Siano inoltre J, Js .../, p integrali di 2* specie, che diven- 
gano infiniti del 1° ordine soltanto lungo ©, individuando ivi 
risp. i gruppi scelti G, G,...G, (n° prec.), ed /;L...L, i q inte- 
grali linearmente indipendenti, di 1% specie, appartenenti ad Y. 
Allora è facile vedere che gl’integrali /,...1,J1...J,, consi- 
derati complessivamente, sono distinti, cioè che una loro com- 
binazione lineare a coefficienti costanti (non tutti nulli), non 
riducesi mai ad una funzione razionale. 
Dicansi invero ®;®3..., le funzioni razionali residue indi- 
viduate su C dagl’integrali J,J3...J, e si ricordi che le @ hanno 
gli stessi poli (ved. la nota (*) a piè della pag. precedente), e 
per zeri rispettivi i punti dei gruppi Q.-+-G,, Q+ Go, ..,.0+6G,, 
ove 0% è il gruppo dei punti di contatto dei piani che toccano 
in punti di C e son paralleli all'asse 2. 
Ciò posto, se avessimo: 
VA E pn bi XI, Ss” EA sa nice sta A == R(xy2), 
ove le ), u son costanti, non tutte nulle, ed È è una funzione 
razionale (necessariamente infinita — del 1° ordine — soltanto 
lungo 0), la funzione residua y(xy2) individuata da su C, sa- 
rebbe data da 
y(#y2) = M1®1 + MoPa +... + HP, 
