SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI CANONICHE, ECC. 299 
Abbiamo dunque: Da un sistema Hamiltoniano II) si può 
ricavare un sistema di equazioni differenziali ordinarie (non Hamil- 
toniano in generale) con un numero di variabili: 
qz 2n 
mediante una trasformazione: 
Pi = Pr (2; Pi)  k=1,2,...,9 
quando le @:(x;; p)) formano un gruppo, ed inoltre F sia funzione 
delle sole @1, Pa, ..; Pa (*). 
Poichè ogni integrale del sistema II) contenente le sole 
®; ... P, è ancora integrale del sistema IV) — avremo che la F 
e le funzioni distinte del gruppo (@; ... 9,) sono integrali del 
sistema IV) —. Osserviamo infine che allorquando il gruppo 
formato dalle @;... p, è ridotto alla sua forma canonica, il si- 
stema IV) si potrà ridurre alla sua forma Hamiltoniana. 
Infatti: il gruppo (©; ... ,) ammetta r funzioni distinte e 
sieno queste le: 
Y.(9, DOO Po), Yo(9; Doo P)), CLDt] Y.(®, sica P,), 
si avrà allora: 
q=2s+ r 
essendo s un numero intiero. Sia infine: 
A, Lo SO0 i] desi Ser w, Sisia Mi 
la forma canonica del gruppo delle @, si abbiano ossia le identità: 
soi (G, P).=0 i=- k _&,k=1,2,...,8 
(X,, P) =0 Ma 
(Pi, Pi) = (4, Ax) = 0 EA 248 
(o) = î=1,2,...,8; £=1,2,...,1 
(W,, Wa) = 0 ISEE 
(*) Il teorema non è invertibile e si può dimostrare che: Condizione 
necessaria e sufficiente perchè da un sistema Hamiltoniano con 2» variabili 
coniugate e di funzione caratteristica Y, si possa ricavare un altro sistema 
differenziale con 9 < 2» variabili (non Hamiltoniano in generale) mediante 
la trasformazione pr= @Ò(2i; pi) = 1,2, ...;9) si è che le Pri; pi) ela F 
formino un gruppo di ordine (9 + 1). 
