552 EUGENIO ELIA LEVI 
all'operazione corrispondente; questa osservazione serve al Cartan 
per distinguere le radici non nulle dell’equazione caratteristica 
di G rispetto ad una data operazione in due specie: 1° radici 
principali che appartengono all’equazione caratteristica di g ri- 
spetto alla operazione corrispondente; 2° radicî secondarie che 
non appartengono a tale equazione (1). 
Tutte le operazioni infinitesime di G che, nella forma ri- 
dotta rispetto ad una operazione generica ordinatrice, apparten- 
gono alle radici secondarie, appartengono a T. Di più poichè le 
radici dell'equazione caratteristica di un gruppo semisemplice 
sono tutte semplici (2), se una radice wz è multipla secondo ma, 
alla radice w, appartengono mx — 1 operazioni infinitesime indi- 
pendenti appartenenti a T. Tutte le rimanenti operazioni appar- 
tenenti a w, sono combinazioni lineari di una operazione di G 
non di appartenente ad w e di queste mx — 1 operazioni di l. 
L’analogo si può dire delle operazioni corrispondenti alla 
radice 0, che formano un gruppo che chiameremo col Cartan 
gruppo Y (3): se mo è la multiplicità della radice 0, / il rango 
del gruppo semisemplice 9, esisteranno my —/ operazioni comuni 
a T e Y; ed una qualunque altra operazione appartenente a Y 
si otterrà come combinazione lineare di queste mo —/ di e Y 
e di altre ! indipendenti. 
Con ciò è ben evidente che il nostro teorema esprime che 
sì possono sempre scegliere l operazioni nel gruppo Y ed una 
corrispondentemente a ciascuna radice principale non nulla per 
modo che esse formino le operazioni generatrici di un gruppo semi- 
semplice oloedricamente isomorfo al gruppo g, l indicando come 
sempre il rango di g. 
Le operazioni di G saranno tutte congrue all’operazioni di 
questo sottogruppo rispetto al gruppo f come modulo; onde si 
avrà la voluta decomposizione. 
3. — Per le proprietà dei gruppi semisemplici le radici 
principali sono a due a due uguali ed opposte: alternando due 
(4) Cartan, pag. 99. 
(*) I risultati relativi ai gruppi semplici e semisemplici sono conte- 
nuti in Carran, cap. IV e V: essi saranno sovente necessari in seguito. 
(*) Cartan, pag.. 84, teorema VII, e pag. 38, n. 11. 
