SULLA STRUTTURA DEI GRUPPI FINITI E CONTINUI 55 
operazioni appartenenti a due radici uguali opposte si ha una 
operazione appartenente alla radice 0, e viceversa una qualunque 
operazione appartenente alla radice 0 in un gruppo semisem- 
plice è una combinazione lineare di operazioni che si possono 
ottenere quali alternate di operazioni appartenenti a radici op- 
poste. Quindi se noi avremo scelto in G le operazioni appar- 
tenenti alle varie radici principali non nulle con cui vogliamo 
costruire il sottogruppo semisemplice, quelle appartenenti a Y 
saranno completamente determinate. 
D’ altra parte il Cartan ha dimostrato (!) che se wx e 
wy = — wax sono due radici principali uguali opposte della equa- 
zione caratteristica di G e se X. è una operazione arbitraria 
appartenente alla radice wx e non appartenente a l, si può sempre 
associare ad _X,, una operazione Xx appartenente alla radice — wa 
(e necessariamente non a T) tale che, posto (X,Xw)= Ya, (Ya 
sarà una operazione di y e non di f) si abbia: 
ELIA) de; 
a,, essendo il valore di wx corrispondentemente ad Yx assunta 
come operazione ordinatrice. Di più Xx è completamente deter- 
minata quando sia fissata arbitrariamente Xa, e quindi è pure 
determinata Y.. 
Per dimostrare il nostro assunto convien dimostrare che, 
se + wa, +wg ... sono le radici principali dell'equazione carat- 
teristica di G, si possono prendere le operazioni X,Xg ... in 
modo che, determinate X,,Xg... e quindi Y,Yg... nel modo so- 
pradescritto, e detto col Cartan (*) azg il valore di ws relativo 
alla operazione Ye di Y, si abbia: 
(VaXe) = aa6X, (YaXy) = — dep Xx 
e che: 
(Xx Xg), (XxXg), (XxXg), (XeXo), (YaYo) ... 
siano combinazioni lineari di X,, X,, Ya... 
(4) Cartan, pag. 99-103; vi è supposto wx= 2. Confronta specialmente 
l'’enunciato di pag. 103 in cui risulta che Xx è arbitraria. Che fissata X4 sia 
determinata X,' risulta dalle equazioni della fine di pag. 102. 
(*) Cartan, pag. 55, formula (6). 
