554 EUGENIO ELIA LEVI 
Quest'ultima condizione possiamo a sua volta semplificare 
ricorrendo all’isomorfismo fra g e G. Se w, ed wg sono radici 
dell'equazione caratteristica di 9g (e quindi radici principali di G) 
e se 2, =g sono le operazioni corrispondenti di g, l’alternata 
(=22) è nulla se wx + wg non è radice, ed è l'operazione 2498 
di 9g appartenente ad w, + wg se questa è radice (!). L’isomor- 
fismo fra G e y trasporta queste conclusioni nelle seguenti: (X2Xg) 
appartiene a T se wx + wg non è radice principale; è fuori di l 
ed appartiene ad wx + wg se wz + wg è radice principale. Se 
quindi wsy= wx + wg è radice principale e se si immaginano 
già determinate Xx occorrerà scegliere — per soddisfare alle 
condizioni esposte — Xy = (X,Xg); e ci resterà a provare che le 
Xu Xg' X5' che sono completamente determinate quando siano 
date X.X6gX;, soddisfanno le equazioni Xy = (XxX); e che, se 
si ha pure ws= Wx, + wg,, è (X2Xa) =a(Xx,Xa,)= Xy. Infine 
se Ww, + wg non è radice principale si dovrà fare in modo che 
(XxX) = 0. 
La dimostrazione del nostro teorema è quindi ridotta a 
mostrare che la scelta delle operazioni X, fuori di T appar- 
tenenti alle radici principali w, può farsi in tal modo che, 
determinate le operazioni X, ed Y, appartenenti alle radici 
Ww, = — wz ed al gruppo y nel modo detto al principio del pre- 
sente numero: 
a) Si abbia: 
(YeX,) È dagXa, (Y6X,) aa DE 
donde poi segue immediatamente per l'identità Jacobiana che 
l’alternata di due (Y,Yg) è nulla: 
(T.) = (LEX) = (Es4)X) = (CO 
= dag(Xa Xe) + Udag(Na Xa) _ 0) $ 
b) Se w,, wg ed w + wg==wy sono radici principali e 
se sì pone XAs=(XxXg) ed Ag= (Xe Xg), quando sia; 
(XK. Xu) = bo (sx) = daaka, (Vas n) = — azul , 
(X8Xg) = Ya; (YeXs) =—-W 36X,, (YeXg) = agg Xg , 
(!) Carran, pag. 41, teorema XI. 
