SULLA STRUTTURA DEI GRUPPI FINITI E CONTINUI 555 
si abbia pure: 
(9X,) = Yo (Yoko) = 045Xs, (Y3Ky) = — 095Xw ; 
c) Se wx ed ws sono radici principali e non lo è w, + Wg 
o, più generalmente, se le operazioni 22, =g di 9g corrispon- 
denti a tali radici sono permutabili, sia pure: 
d) Se wx+ wg= Wa, + Wwe, = Wy dove ws Wg Wa, Wg, Wy 
sono radici principali sia: 
(o) = alXeXe) = Ly 
dove a è una costante. 
4. — Le condizioni a) d) c) sono identicamente soddisfatte 
quando le X siano scelte nel modo detto in principio del pre- 
cedente numero e cioè tali che: 
(XxX) = Ha; (Ya) = daxka, (YaXw) ==> == RIN ar. 
Cominciamo dalla @). 
Sia w. una radice principale, Xx Xx Yz le operazioni rela- 
tive. Sia wg un’altra radice principale: 0 as4= 0, oppure una al- 
meno delle due espressioni wgs + w, wgs —w, è radice (!). Se 
nè ws +w, nè ws—w, sono radici, si ha quindi (X,Xe) = 
(Xx. Xe) = 0, onde 
(Y2Xe) = (RX) X0) = (L(XyX3)) — (XA) = 0. 
Nel caso contrario sia radice ws — h'wx (h' intero 2 1) (?) 
e non wWe— (h'+ 1)ws. 
Sia ora una almeno delle espressioni wg + wz ed ws — wa 
radice, più in generale supponiamo che siano % ed 4' i massimi 
interi per cui wa + Xwx ed we — h'w, e tutte le radici inter- 
medie sono ancora radici. 
(4) Carran, pag. 56, teorema VI: questo teorema è qui applicato al 
gruppo semisemplice g. 
(?) Nell'ipotesi che qualche espressione delle forme wg +uw, sia ra- 
dice, si può sempre supporre che il segno sia precisamente —, bastando 
al bisogno scambiare a ed d'. 
