SULLA STRUTTURA DEI GRUPPI FINITI E CONTINUI 561 
7. — Non ci resta quindi ormai che a mostrare che si 
possono scegliere le operazioni X, Xg... in modo che anche la 
condizione d) rimanga soddisfatta. Ma perciò basterà dimostrare 
che essa è soddisfatta quando le radici principali wxWwgwx,wWg, 
Ws = W, + wg = wa, + wg, appartengono ad uno stesso dei 
gruppi semplici che compongono il gruppo semisemplice g. In- 
fatti qualora wz ed wgs appartenessero a due diversi gruppi 
semplici del gruppo semisemplice le operazioni =2=g del gruppo g 
corrispondenti sarebbero permutabili (nota 1, pag. 1), e per e) 
si avrebbe (X. Xg)= 0. 
Siano dunque le radici principali appartenenti ad uno stesso 
gruppo semplice. Prendiamo un sistema di radici Wj,w,..., W, 
indipendenti e tali che ogni altra radice si possa sempre porre 
sotto la forma w,=%,w, + laws + ...+ /,w, dove le X sono 
interi positivi o negativi. Questo sarà sempre possibile: p. es. 
con uno di quei sistemi di radici che il Cartan chiama fonda- 
mentali (1). 
l 
Il numero A= 2 |%;| si dirà dase della radice wa. Asso- 
1 
ciamo alle radici fondamentali altrettante operazioni XX, ...,-X 
non appartenenti a F ed alle radici uguali opposte a queste le 
operazioni Xx, Xy,..., Xy ad esse corrispondenti secondo il n. 3. 
Diremo queste operazioni fondamentali, e base di un'operazione 
appartenente ad una radice la base della radice. 
Osserviamo allora che noi otterremo operazioni apparte- 
nenti ad una radice principale qualunque, facendo l’alternata di 
due operazioni fondamentali, indi l’alternata di una delle ope- 
razioni così ottenute con una operazione fondamentale e così 
via. Anzi ad una radice w, di base /% si potrà giungere appli- 
cando X — 1 volte almeno questo processo, e viceversa sce- 
gliendo opportunamente le operazioni fondamentali cui il processo 
si applica, si giungerà certamente ad una operazione di base / 
mediante 4 —1 volte alternate. Infatti consideriamo la radice 
w, = hw, + hgw +... + AWw,: tra i numeri a; (i=1...0) ve 
n’è certamente almeno uno diverso da 0; poichè altrimenti 
(!') Carran, pag. 65. Vedi anche le particolari strutture dei gruppi sem- 
plici, che saranno richiamate anche in seguito, a pag. 71, in cui appunto 
tutte le radici sono espresse per sistemi fondamentali di radici. 
