562 È EUGENIO ELIA LEVI 
sarebbe a,,= Z Riaia=0 (1); assurdo. Sia @1:=#=0 sarà pure 
ay, = — d12== 0. E supponiamo che %; sia, per es., positivo. 
Allora facciamo l’alternata di una operazione Xx colla ope- 
razione Xy, pei ragionamenti del n. 4 essa non sarà nulla e 
sarà una operazione Xa, appartenente ad wa, = (hf, —1)w + 
+ hgws +... + A,w,. E viceversa Xx si otterrà, come si osservò 
al n. 5, quale alternata di X., e di X. Ed w., sarà di base R—1. 
Ripetiamo ora questo ragionamento su X, e così proseguiamo, 
giungeremo ad una operazione di base 1 e quindi differente da 
una operazione fondamentale X, per una operazione di T. Par- 
tendo da X; si otterrà per la via inversa una operazione diversa 
da X, solo per operazioni di f. 
Ciò posto deduciamo da XX... X, e dalle loro associate 
Xv Xx... Xr col processo descritto delle operazioni appartenenti 
ad una qualunque radice del gruppo, queste operazioni saranno 
per b) a due a due accoppiate nel modo detto nel n. 3. E non 
ci resterà a dimostrare se non che: 
1° Alternando due operazioni Xx Xg così ottenute ed ap- 
partenenti a radici w,ws tali che w, + wg= wy sia ancora una 
radice principale, si giunge ad operazioni non diverse da quelle 
cui sì giunge applicando il nostro processo fondamentale, o a 
loro combinazioni lineari. 
2° Osservato che ad una radice si può giungere per più 
vie, anche applicando il nostro processo fondamentale — (per 
esempio si può giungere alla radice w, fondamentale o lascian- 
dola tale e quale, oppure, supposto @; == 0, alternando l’opera- 
zione che le appartiene con quella appartenente ad w;, poi con 
quella appartenente ad w, od anche per vie più complicate) — 
per una qualunque di queste vie si giunge sempre ad una ope- 
razione medesima. 
Quanto al primo punto esso risulta evidente in virtù del- 
l’identità Jacobiana. Supponiamo infatti Xx di base qualunque #, 
supponiamo che la cosa sia dimostrata quando Xs sia di 
base % — 1, e dimostriamola nel caso in cui Xg è di base #. 
Siccome la cosa è vera se Xs è di base 1, poichè allora fare 
l’alternata (X. Xe) sarà applicare una volta di più il nostro 
processo fondamentale, la cosa sarà così dimostrata in generale. 
(4) Cartan, pag. 60. 
