SULLA STRUTTURA DEI GRUPPI FINITI E CONTINUI 563 
Ora, essendo Xs di base %, possiamo porre Xg =(Xg,4) 
essendo Xs, di base X — 1. Ma allora: 
(A Xe) = (Aa (X3,X)) = (A, Xe) X) — (ALAN). 
Ora (Xx X;) è una operazione ottenuta come X, mediante 
il processo fondamentale: quindi per l’ipotesi fatta ((Xx X;)Xg,) 
è pure una combinazione di tali operazioni: analogamente per 
l'ipotesi fatta è (X, Xx,) una combinazione lineare di operazioni 
ottenute col processo fondamentale, quindi lo è pure ((Xx Xe) X;): 
e quindi ancora lo è (Xx Xg), c. v. d. 
Quanto al secondo punto conviene ricorrere alla conside- 
razione delle composizioni dei varii gruppi semplici. Ma questo 
esame è semplificato dalle seguenti osservazioni. 
Ogni passo del nostro processo fondamentale porta solo da 
operazioni di base £ ad operazioni di base X1— 1 o di base h+ 1. 
Talchè se Xys=(X;,X;) e Xx; è di base 7, X;, è di base 441 
odh—1. 
In principio di questo numero abbiamo mostrato che ad 
una radice si può sempre giungere in uno o più modi passando 
per sole radici di base minore. Supponiamo dimostrato che per 
tal modo si giunga sempre alle stesse operazioni appartenenti 
alle varie radici: ne viene che anche passando per radici di 
base maggiore si giunge sempre alle stesse operazioni. In altri 
termini se Xy, è di base maggiore di Xy che si suppone deter- 
minata in modo unico giungendovi per sole operazioni di base 
minore e se (Xy,X;) è una operazione appartenente ad wy, 
questa coincide colla Xy;. Infatti (Xy A;) dà allora una ope- 
razione di wy, la quale coincide con Xy, perchè ottenuta par- 
tendo da una radice di base minore. Quindi dal n. 5 si deduce 
Pei=aX;,\c..v. d. 
Applicando ripetutamente questo ragionamento la dimostra- 
zione di questa ultima parte si riduce a dimostrare che col 
nostro processo si giunge sempre — a meno di un fattore 
costante — ad una stessa operazione, in qualsiasi modo si pro- 
ceda, partendo da operazioni fondamentali e passando per sole 
operazioni di base minore. 
È quanto noi dimostreremo nel n. seguente partitamente 
per ogni tipo di gruppo semplice. 
