564 _ EUGENIO ELIA LEVI 
8. — Prenderemo come radici fondamentali le radici 
Wytv9 ... w, che usa il Cartan a pag. 71 nel descrivere i varii 
gruppi semplici. 
Tipo A). Evidentemente si giunge alle varie radici per una 
sola via. 
Tipo B). Si giunge per una sola via alle radici w; — wj, 
t(W— w), tw — 2w,). 
Non così per l’ultimo tipo di radici +(w+w;—2w). Si 
consideri per esempio w, + w,— 2w,; ad essa si giunge o dalla 
radice w,— 2w, o da quella w, — 2w,: si deve dunque dimostrare 
che (X;-2X;) ed (X;-xX;) non differiscono che per un fattore 
costante. Notiamo che X;-a ed X;-2, sono unici e che preci- 
samente: 
Xi = (XA) Ar = (AA). 
Si ha quindi per l'identità Jacobiana, osservando che 
(XX7)X) = ((GX7)X) = 0 perchè w+ w;— w, non è radice: 
(Xi-aX) = (XX) A7)A)= (ZAM(AA7)) = (X(A0(A74,))) = 
= (XX; a) = — (K;- a). 
Quindi è dimostrato completamente il teorema pel caso del 
tipo B). 
Tipo C). Analogamente w;— w;, £ (w; — w), £(wW,—2w,) 
si ottengono in un sol modo. Non così w;{4-w;—w; che deriva 
da w,— w e da w —w. Si deve mostrare che (X,_,;X) ed 
(X;-1X;) non differiscono che per un fattore costante. Si ha: 
Xi = (40) X_= (4). 
Quindi, poichè w,;+ w; non è radice, 
(XX) = (X7)4) = (A004) = (Xu). 
Analoga trattazione si usa pei tipi D) E) F) G). Si può os- 
servare che nel tipo G) tutte le radici hanno generazione unica. 
Noteremo ancora che bisognerà esaminare le varie radici suc- 
