F. CASTELLANO — IL BIRAPPORTO DI QUATTRO PUNTI, ECC. 579 
ll birapporto di quattro punti nello spazio 
con applicazioni alla Geometria del Tetraedro. 
Nota di F. CASTELLANO. 
In questa nota mi propongo di definire il rapporto semplice 
di tre punti ed il birapporto di quattro punti comunque disposti 
nello spazio, applicando la teoria dei Quaternioni di Hamilton, 
e di dedurre le principali proprietà. 
Una quaterna di punti non complanari determina venti- 
quattro birapporti corrispondenti all'ordine dei punti stessi, i 
quali sono in generale tutti disuguali. Essi dipendono da tre 
argomenti (angoli) e da quattro vettori unità, che sono elementi 
importanti del tetraedro che ha per vertici i punti del birap- 
porto. 
Le relazioni tra i birapporti di quattro punti e la loro in- 
terpretazione costituiscono proprietà interessanti la Geometria del 
tetraedro; lo studio di particolari valori del birapporto permette 
la considerazione di tetraedri speciali, e facilita il modo di rile- 
varne le proprietà. 
Il rapporto semplice ed il birapporto possono servire come 
coordinate dei punti e delle rette dello spazio rispetto ad una 
coppia o ad una terna di punti dati. 
La notazione adottata è quella del “ Formulaire Mathéma- 
tique , di G. Peano, edizione del 1903, « 32, 33, 34, 35. 
LL 
Rapporto semplice di tre punti. 
1. — Siano 4, b, C tre punti, e sia 5 distinto da C; chiamo 
rapporto semplice dei punti A, B, C e lo rappresento con (ABC) 
il quaternione quoziente del vettore A — Cl pel vettore B — C. 
