IL BIRAPPORTO DI QUATTRO PUNTI NELLO SPAZIO, ECC. 581 
distanze di C da A e da B; ha per argomento l’angolo di CB 
con CA; il suo vettore è normale al piano ABC. 
Dipende dall’ordine dei punti, e tra i sei rapporti semplici 
corrispondenti alle sei permutazioni dei punti passano le stesse 
relazioni che legano i rapporti semplici di tre punti allineati. 
Sviluppando le ‘13 ed uguagliando gli scalari ed i vettori 
nei due membri si deducono le formole fondamentali della trigo- 
nometria piana. 
2. Coordinata-rapporto. — Siano A, B due punti distinti; ad 
ogni punto P dello spazio corrisponde un quaternione (ABP) il 
cui vettore è normale ad A — B; ad ogni quaternione g diverso 
da 1, il cui vettore sia normale ad A— B, corrisponde un 
punto P definito dalla relazione: 
(ABPY=i9. 
Infatti: 
‘0 qegqtr. A,B,P.ep. A-B—=0. (VgXxX(A—B)=0. 
q_=1.(ABP)=q9.9. 
(PAB)=(1— 9 
MIR Bp(1- 9) (4005) 
P=B+[S(1 — 9)](A— B)+][[V(1—97]a[4— B]1. 
DO 
Ne consegue che i quaternioni con vettore normale ad A—B 
si possono assumere come coordinate dei punti dello spazio ri- 
spetto alla coppia di punti A, B. Se g è la coordinata di P 
rispetto alla coppia A, B, il punto P giace nel piano che con- 
tiene A, B ed è normale al vettore di 9g; il modulo di 9 ci dà 
il rapporto delle distanze di P da A e da 5; l'argomento di 9 
è l'angolo sotto cui AB è visto da P. Il quaternione (1 —9)" 
ci dà le coordinate polari e le cartesiane, come è indicato nelle 
dEi 
Le formole che dànno in questi sistemi di coordinate la 
distanza di due punti, l’area del tripunto, l’angolo di due rette, 
le condizioni di allineamento, ece., si deducono senza difficoltà. 
re(1,...3).A,B, Pep.A—-B—=0, 
Mueouevi.tX (A B) —=0.(PBA4B)=m += 39,.0- 
3° P=B+qg(4— B) 
Atti della R. Accademia — Vol. XL. 39 
